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高等数学向量及其运算PPT课件1§7.1向量及其运算一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向解、投影2

既有大小,又有方向的量叫做向量.

向量

向量可用粗体字母、

或加箭头的书写体字母表示.以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量,记作AB

→向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.向量的表示法

一、向量概念3

如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.

相等的向量经过平移后可以完全重合.

向量的相等

与起点无关的向量,称为自由向量,简称向量.

自由向量

4向量的模向量的大小叫做向量的模.单位向量

模等于1的向量叫做单位向量.

零向量

零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.5向量的平行

两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.

向量a与b平行,记作a//b.

零向量认为是与任何向量都平行.6共线向量与共面向量

当两个平行向量的起点放在同一点时

它们的终点和公共的起点在一条直线上

因此

两向量平行又称两向量共线

设有k(k

3)个向量

当把它们的起点放在同一点时

如果k个终点和公共起点在一个平面上

就称这k个向量共面

7二、向量的线性运算

设有两个向量a与b,平移向量,使b的起点与a的终点重合,则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.1.向量的加法

c=a+b三角形法则平行四边形法则8向量的加法的运算规律

(1)交换律a+b=b+a;

(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).9向量的减法向量b与a的差规定为b-a=b+(-a).负向量三角不等式|a+b|

|a|+|b|,|a-b|

|a|+|b|,等号在b与a同向或反向时成立.与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-a.10当

=0时,|

a|=0,即

a为零向量.

向量a与实数

的乘积记作

a,规定

a是一个向量,它的模|

a|=|

||a|,它的方向当

>0时与a相同,当

<0时与a相反.2.向量与数的乘法当

=-1时,有(-1)a=-a.

当

=1时,有1a=a;11

(1)结合律

(

a)=

(

a)=(

)a;(2)分配律(

+

)a=

a+

a;

(a+b)=

a+

b.向量与数的乘积的运算规律向量的单位化于是a=|a|ea.

设a

0,则向量是与a同方向的单位向量,记为ea.

12

例1

形对角线的交点.于是

解

由于平行四边形的对角线互相平分,所以13例设的三边三边中点分别为D、E、F试用表示并证明证ABCDEF14定理1.

设a为非零向量,则(

为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数

的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b与

a同向,设又有b＝

a,15“”则例1.设M为解:ABCD对角线的交点,已知b＝

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b16

给定一个点O及一个单位向量i就确定了一条数轴Ox

并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系:

点P

实数x

实数x称为轴上点P的坐标

数轴与点的坐标17说明：三、空间直角坐标系空间直角坐标系

y轴z轴原点x轴

在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k

就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴

依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)

统称为坐标轴

它们构成一个空间直角坐标系

称为Oxyz坐标系

(2)数轴的的正向通常符合右手规则.

(1)通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;18

在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.

坐标面

三个坐标面分别称为xOy面,yOz面和zOx面.卦限

坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,分别用字母I、II、III、IV等表示.

19

向量的坐标分解式

以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体

有20上式称为向量r的坐标分解式

xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量

点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系

任给向量r

存在点M及xi、yj、zk

使有序数x、y、z称为向量r的坐标

记作r

(x

y

z)

有序数x、y、z也称为点M的坐标

记为M(x

y

z)

向量称为点M关于原点O的向径

21

坐标面上和坐标轴上的点

其坐标各有一定的特征

例如

点M在yOz面上

则x

0

点M在zOx面上的点

y

0

点M在xOy面上的点

z

0

点M在x轴上

则y

z

0

点M在y轴上,有z

x

0

点M在z轴上的点

有x

y

0

点M为原点

则x

y

z

0

坐标轴上及坐标面上点的特征22四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:23例2其中a=(2

1

2)

b=(-1

1

-2).

解

如同解二元一次线性方程组

可得

x

2a

3b

y

3a

5b

以a、b的坐标表示式代入

即得x

2(2

1

2)

3(

1

1

2)

(7

1

10)

y

3(2

1

2)

5(

1

1

2)

(11

2

16)

24

解

例3已知两点A(x1

y1

z1)和B(x2

y2

z2)以及实数

1

这就是点M的坐标

由于25说明:由得定比分点公式:点

M为AB的中点,于是得中点公式:261.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与五、向量的模、方向角、投影27例4.

求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点28其中a=(212)b=(-11-2).解四、利用坐标作向量的线性运算坐标轴上及坐标面上点的特征点M在xOy面上的点z0如同解二元一次线性方程组可得设a0,则向量是与a同方向的单位向量,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.的三角形是等腰三角形.五、向量的模、方向角、投影“”以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有例3已知两点A(x1y1z1)和B(x2y2z2)以及实数1例5.

在z轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.29提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解:求302.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤

≤

)为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,

,

为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作31,a,b同向时上式称为向量r的坐标分解式坐标面上和坐标轴上的点其坐标各有一定的特征例如其中a=(212)b=(-11-2).再证数的唯一性.点M在xOy面上的点z0在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为Oxyz坐标系设a为非零向量,则|a-b||a|+|b|,四、利用坐标作向量的线性运算故在x轴上的投影为它在x轴、y轴上的投影为相等的向量经过平移后可以完全重合.以a、b的坐标表示式代入即得在y轴上的分向量为行四边形的对角线的长度.方向余弦的性质:32例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量33例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹343.向量在轴上的投影

设点O及单位向量e确定u轴

再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M

则向量Prjur或(r)u

35

向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax

ay

az就是a在三条坐标轴上的投影

即

ax

Prjxa

ay

Prjya

az

Prjza

性质3

(

a)u

(a)u(即Prju(

a)

Prjua)

性质2

(a

b)u

(a)u

(b)u(即Prju(a

b)

Prjua

Prjub)

性质1

(a)u

|a|cos

(即Prjua