角平分线的性质2

角平分线的性质2本课内容本节内容1.4一、快乐启航：1、角平分线的性质定理及逆定理：2、如图，已知BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，求证：D在∠BAC的平分线上。二、自主研读（自研教材P24——P25的内容，思考下列问题）【学习目标】1、进一步掌握角平分线的性质定理及它的逆定理，能够灵活运用这两个定理解决有关问题。动脑筋

如图1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF

的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？图1-29图1-29∵

ME⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分线.可以添加条件MN=ME

（或MN=MF）.∴

M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.图1-29如图1-30，在△ABC

的外角∠DAC

的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.例2∴PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴

BE+PF>PB.∵

AP是∠DAC的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，解图1-30举例

如图1-31，你能在△ABC

中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？动脑筋图1-31

因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC

任意两角（例如∠A与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也在∠C的平分线上，如图1-32.图1-321、如图，OC为∠AOB的平分线，P为OC上一点，PD⊥OB于D，E为OA上一动点，则线段PE的长度范围是？【同类演练】2、如图，已知AB=AC，CD=BD，DE⊥AC交AC的延长线于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，求证：DE=DF。3、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=4，△ABD的面积等于9，求△ADC的面积。练习如图，E是∠AOB

的平分线上一点，EC⊥OA

于点C，ED⊥OB于点D.

求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.

（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，

∵

OE=OE，ED=EC，∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴

OD=OC.证明（1）∵点E在∠BOA的平分线上，

EC⊥AO，ED⊥OB，

∴

ED=EC.

∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC

是个等腰三角形.2.如图，在△ABC

中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，

BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.

求证：AB=AD+BE.M证明作CM⊥AB于点M.∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，

∴

CD=CM，CE=CM.

在Rt△ACD和Rt△ACM中，

∵

CM=CD，AC=AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACM.∴AD=AM.同理，BE=BM.又

AB=AM+BM，∴

AB=AD+BE.【拓展挑战】如图，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，P为∠CAB与∠ABC的平分线的交点，PD⊥AB于D，求PD的长。小结与复习1.直角三角形的两个锐角有什么关系？2.直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？3.请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理.4.判断两个直角三角形全等的方法有哪些？5.

角平分线有哪些性质？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形判定全等判定方法角平分线角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上性质直角三角形两个锐角互余有一个角是直角的三角形是直角三角形HLSASASAAASSSS角的平分线上的点到角的两边的距离相等勾股定理勾股定理的逆定理“斜边、直角边定理”是判定两个直角三角形全等所独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件是两个直角三角形.2.要注意本章中的互逆命题，如直角三