函数与极限习题课

（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容第一页第二页，共70页。函数的定义反函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数第二页第三页，共70页。1、函数的定义第三页第四页，共70页。函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)第四页第五页，共70页。(1)单值性与多值性:2、函数的性质第五页第六页，共70页。(2)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo第六页第七页，共70页。(3)函数的单调性:

设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。第七页第八页，共70页。(4)函数的有界性:第八页第九页，共70页。设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(5)函数的周期性:oyx第九页第十页，共70页。3、反函数4、隐函数第十页第十一页，共70页。5、反函数与直接函数之间的关系第十一页第十二页，共70页。6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数第十二页第十三页，共70页。7、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.第十三页第十四页，共70页。9、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式第十四页第十五页，共70页。第十五页第十六页，共70页。左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大第十六页第十七页，共70页。1、极限的定义第十七页第十八页，共70页。第十八页第十九页，共70页。左极限右极限第十九页第二十页，共70页。无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大第二十页第二十一页，共70页。定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质第二十一页第二十二页，共70页。定理推论1推论23、极限的性质第二十二页第二十三页，共70页。4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.f.通分法;g.有理化方法;h.代数方法.第二十三页第二十四页，共70页。5、判定极限存在的准则(夹逼准则)第二十四页第二十五页，共70页。(1)(2)6、两个重要极限第二十五页第二十六页，共70页。定义:7、无穷小的比较第二十六页第二十七页，共70页。定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质9、极限的唯一性第二十七页第二十八页，共70页。左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类第二十八页第二十九页，共70页。1、连续的定义第二十九页第三十页，共70页。定理3、连续的充要条件2、单侧连续第三十页第三十一页，共70页。4、间断点的定义第三十一页第三十二页，共70页。(1)跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点的分类第三十二页第三十三页，共70页。跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx第三十三页第三十四页，共70页。0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点第三十四页第三十五页，共70页。6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理第三十五页第三十六页，共70页。定理1

严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理28、初等函数的连续性定理3第三十六页第三十七页，共70页。定理4基本初等函数在定义域内是连续的.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.第三十七页第三十八页，共70页。定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.第三十八页第三十九页，共70页。推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.第三十九页第四十页，共70页。二、典型例题例1解第四十页第四十一页，共70页。例2.设函数求解:第四十一页第四十二页，共70页。例3解利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入上式得第四十二页第四十三页，共70页。解联立方程组第四十三页第四十四页，共70页。例4解将分子、分母同乘以因子(1-x),则第四十四页第四十五页，共70页。例5解解法讨论第四十五页第四十六页，共70页。第四十六页第四十七页，共70页。令例6第四十七页第四十八页，共70页。～则有复习:若例7第四十八页第四十九页，共70页。例8解第四十九页第五十页，共70页。例19.

确定常数a,b,

使解:原式故于是而第五十页第五十一页，共70页。例10

设函数在x=0连续,则a=

,b=

.提示:第五十一页第五十二页，共70页。例11.

设

f(x)

定义在区间上,,若f(x)在连续,提示:且对任意实数证明f(x)

对一切

x

都连续.第五十二页第五十三页，共70页。例12解第五十三页第五十四页，共70页。第五十四页第五十五页，共70页。例13.当时,是的几阶无穷小?解:设其为的阶无穷小,则因故第五十五页第五十六页，共70页。例14.求解:

令则利用夹逼准则可知第五十六页第五十七页，共70页。有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例15.设函数试确定常数a及b.第五十七页第五十八页，共70页。例16.求的间断点,并判别其类型.解:

x=–1为第一类可去间断点

x=1为第二类无穷间断点

x=0为第一类跳跃间断点第五十八页第五十九页，共70页。例17证明讨论:第五十九页第六十页，共70页。由零点定理知,综上,