基于有限时间控制的永磁同步电机位置伺服系统控制

基于有限时间控制的永磁同步电机位置伺服系统控制

1有限时间稳定性控制方法近年来，控制理论在开发和应用于永通道电气工程及其驱动理论方面取得了很大进展。通常PMSM采用线性模型和线性控制,但是永磁同步电机是一个典型的非线性多变量耦合系统。特别是实际的伺服电机系统容易受到未知负载和摩擦等非线性因素的影响。一般的线性控制器,不能很好地兼顾动态响应和抗干扰能力的要求,容易受电机参数变化和负载扰动等不确定性的影响。为了克服这些问题,近年来有许多新的非线性控制技术应用于永磁同步电机伺服系统,如滑模变结构控制、自适应控制、自抗扰技术和智能控制等。从优化的角度看,有限时间收敛的控制方法是时间最优的控制方法。在控制系统中,收敛性能是一个比较关键的性能指标。系统的有限时间收敛是指系统的状态在有限时间内达到平衡点(然后会一直停留在平衡点上)。研究表明,对有不确定和扰动情况的系统进行控制时,和无限时间控制技术(指数收敛或一般其他的渐近收敛)相比,有限时间稳定系统在原点附近具有更快的收敛性,而且具有更好的鲁棒性和抗干扰性。一般说来,有限时间控制器设计方法分为开环控制方法、非连续状态反馈控制方法和连续状态反馈控制方法。开环控制方法缺乏抗干扰能力和鲁棒性,在实际应用中局限很大。以bang-bang控制为代表的非连续反馈控制方法存在控制器不易实现,容易产生抖动等问题。因此基于系统状态的连续反馈控制方法很值得研究[8,9,10,11,12,13,14]。本文首先根据永磁同步电机的数学模型,将给定的期望位置信号与反馈位置信号进行比较,得到二阶的误差信号模型。然后在文献的基础上,利用反步构造法,提出了一种基于反馈线性化和有限时间控制技术的永磁同步电机控制策略。对于本文所涉及的二阶系统,还没有现成的基于有限时间控制的扰动分析结果。而在实际系统中,抗干扰性能是一个很重要的指标。本文重点通过数学分析,证明了当干扰存在时,位置误差可以收敛到原点的一个区域内,同时还给出了该区域与控制参数之间的关系。通过调节控制器参数可以使状态误差收敛到一个小的区域内。与基于PD和反馈线性化的控制方案相比,该状态误差的收敛区域的界可以更小。2基于矢量控制的双闭环解耦控制在假设磁路不饱和,忽略磁滞、涡流损耗的影响,空间磁场呈正弦分布的条件下,在随转子旋转的d-q坐标系上,永磁同步电机的数学模型为˙id=-Rsid/Ld+npωiq+ud/Ld,˙iq=-npωid-Rsiq/Lq-npφfω/Lq+uq/Lq,˙ω=npφfiq/J-Bω/J-Τl/J+d1(t),˙θ=ω。}(1)式中:ud、uq为定子绕组d-q轴电压;id、iq为定子绕组d-q轴电流;Ld、Lq为定子绕组直、交轴电感;Rs为定子电阻;φf为转子永久磁体产生的磁势;np为电机极对数;J为转动惯量;B为粘滞摩擦系数,Tl为负载转矩;ω电机转子机械角速度;θ为电机转角;d1(t)是系统的外部和内部干扰。由状态方程可知,d-q轴电流id和iq之间存在耦合关系,不能独立调节,不易实现转矩线性化控制。在实际控制过程中,为实现转子磁场定向的矢量控制,通常采用id=0的控制策略。由于电流环的响应较快,采用PI控制,选取适当的电流调节器参数时,一般能保证d-q轴电流反馈的信号id、iq可以较好地跟踪给定信号i*d、i*q(假设iq对i*q的跟踪误差是有界的)。所以只要保持电流指令i*d=0,就近似实现了PMSM中电流的独立控制,即实现了的转速与电流的近似解耦。而只要用i*d来进行外环控制器的设计即可。图1为基于矢量控制的双闭环解耦控制结构。考虑到有限时间控制技术对系统扰动的有较好的抑制作用,有可能降低负载转矩等扰动对位置跟踪性能的影响,在位置环设计了基于有限时间控制技术的控制器,内环仍采用PI控制器。3永磁同步电机pmsm位置判断控制目标为:在永磁同步电机位置伺服系统中,设计一个基于反步构造的有限时间的控制器,使位置输出能够跟踪给定位置信号。假设给定位置信号θ*二阶可导,且各阶导数有界。定义误差状态eθ=θ*-θ,由式(1)可以得出位置误差系统的状态方程为¨eθ=¨θ*-npφfi*q/J+Bω/J+Τl/J+d(t),(2)其中:d(t)=npφf(i*q-iq)/J-d1(t),是系统的总扰动。假设1系统(2)的总扰动d(t)是有界的,满足|d(t)|≤l。(3)下面设计基于反步构造的有限时间反馈控制器,分析其抗扰性能以及控制律参数与位置误差收敛域之间的关系。考虑非线性系统˙x=f(x),f(0)=0,x∈Rn,(4)其中f(x)为连续的向量函数。引理1对任何x,y∈R,0<p=p1/p2<1,其中p1,p2为互质的正奇数,则有不等式|xq-yq|≤21-q|x-y|q成立。引理2对任何x,y∈R,若c,d∈R+,γ(x,y)为任意正的实函数,则下列不等式成立:|x|c|y|d≤cγ(x,y)|x|c+d/(c+d)+cγ-cd(x,y)|y|c+d/(c+d)引理3对任何xi∈R,i=1,…,n,0<p<1,则不等式(|x1|+⋯+|xn|)p≤|x1|p+⋯+|xn|p成立。定理1若系统(2)满足假设1,对于永磁同步电机(PMSM)位置伺服系统,采用反馈控制器i*q=Jnpφf×[¨θ*+BJω+ΤlJ+(2-1q)21-1/qk1+q1k2(˙eqθ+kq1eθ)2/q-1]‚(5)则置误差eθ可以收敛到区域|eθ|≤(k3/k1)q/(q+1)(2l/((2-1q)21-1/qkq+11k3))q/(2-q)。(6)其中:1<q=q1/q2<2,q1和q2是正奇数;l为干扰d(t)的界,k1>0,且k2>21-1/q1+q(23-1/qqk1(1+q))q+1k1+qq+1(4(1+q)k1)1/q,k3=k2-21-1/q1+q(23-1/qqk1(1+q))q-1k1-q1+q(4(1+q)k1)1/q。证明令x1=eθ,x2=˙eθ,利用反馈线性化,则系统(2)化为双积分线性系统为˙x1=x2,˙x2=u+d(t),(7)其中u=¨θ*-pφfi*q/J+Bω/J+Τl/J。取Lyapunov函数V1(x1)=x21/2,求导可得˙V1(x1)=x1x2≤x1(x2-x*2)+x1x*2,(8)其中,k1>0,1<q=q1/q2<2,q1和q2是正奇数。设计x*2=-k1x1/q1,则有˙V1(x1)≤x1(x2-x*2)-k1x1+1/q1。(9)取Lyapunov函数V2(x1,x2)=V1(x1)+1(2-1q)21-1/qk1+q1∫x2x*2(sq-x*q2)2-1qds,于是有˙V2≤-k1x1+1/q1+x1(x2-x*2)+121-1qk1+q1(∂x*q2)∂x1x2∫x2x*2(sq-x*q2)1-1qds+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2u+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2d(t)。(10)其中ξ2=xq2-x*q2。又因为∂x*q2/∂x1=-kq1,|d(t)|≤l,由式(9)整理可知˙V2≤-k1x1+1/q1+x1(x2-x*2)+121-1qk1x2∫x2x*2(sq-x*q2)1-1qds+1(2-1q)21-1/qkq+11ξ2-1q2u+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2l。(11)即˙V2≤-k1x1+1/q1+x1(x2-x*2)+121-1qk1|x2||x2-x*2|ξ1-1/q2+1(2-1q)21-1/qkq+11ξ2-1q2u+1(2-1q)21-1/qk1+q1ξ2-1q2l。(12)由引理1可知|x2-x2*|≤21-1q|ξ2|1q,(13)故V˙2≤-k1x11+1/q+21-1q|x1||ξ2|1/q+1k1|x2||ξ2|+1(2-1q)21-1/qk1q+1ξ22-1qu+1(2-1q)21-1/qk11+qξ22-1ql。(14)由引理2得21-1/qx1(x2-x2*)≤21-1/q|x1|ξ21/q≤k1x11+1/q/4+(23-1/qqk1(1+q))qξ21+1/q。(15)注意到x2=(ξ2+x2*q)1q,由引理3可得|x2|≤|ξ2|1q+|x2*|=|ξ2|1q+k1|x1|1/q。由引理2得|x2ξ2|/k1≤ξ21+1/q/k1+|x1|1/q|ξ2|≤ξ21+1/q/k1+k14x11+1/q+11+q(4k1(1+q))1/qξ21+1/q。(16)整理式(14)、(15)、(16)得V˙2≤-k1x11+1/q+k14|x1|1+1/q+21-1q11+q(23-1/qqk1(1+q))qξ21+1/q+1k1ξ21+1/q+k14x11+1/q+qq+1(4(1+q)k1)1/qξ21+1/q+1(2-1q)21-1/qk1q+1ξ22-1q(u+l)。(17)若控制律u设计为u=-(2-1/q)21-1/qk11+qk2(x2q+k1qx1)2/q-1,(18)其中,k1>0,k2>21-1/q1+q(23-1/qqk1(1+q))q+1k1+qq+1(4(1+q)k1)1/q。代入式(17)则有V˙2≤-k12x11+1/q-k3ξ21+1/q+l(2-1q)21-1/qk1q+1ξ22-1q,(19)其中:k3=k2-21-1/q11+q(23-1/qqk1(1+q))q-1k1-q1+q(41+q)1/q。令Ω1={(x1,x2):|ξ2|≤(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)q2-q}。若(x1,x2)∈¯Ω1,易验证V˙2≤-(k1x11+1/q+k3ξ21+1/q)/2。(20)初始状态(x1(0),x2(0))存在两种情况。一种情况是在Ω1外,由于V˙2<0,存在t1>0使得(x1(t1),x2(t1))∈bdΩ1,其中bdΩ1是Ω1的边界;另一种情况是初始状态在Ω1内,即(x1,x2)∈Ω1。如果(x1,x2)在Ω1内且不超出其范围,就不需要证明。我们只需要证明(x1,x2)会脱离Ω1的情况。对于这种情况,仍然存在t1>0使(x1(t1),x2(t1))∈bdΩ1。下面证明(x1(t),x2(t))∈Ω1对于任意t∈[t1,∞)成立。令m=min(x1,x2)∈bdΩ1k3ξ21+1/q/2,即m=k32(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)1+q2-q。对于任意(x1(t),x2(t))∈bdΩ1有V˙2≤-m<0。由于V2(x1,x2)是连续的,于是存在s1>0使(x1(t),x2(t))∈Ω1对于t∈[t1,t1+s1)成立。假设存在h∈[t1,+∞),使(x1(h),x2(h))∈¯Ω1,得到存在δ∈(t1,h),使(x1(δ),x2(δ))∈bdΩ1成立。注意到V˙2(x1(δ),x2(δ))≤-m<0和V2的连续性,即存在s2>0,使V2(x1(t),x2(t))在[δ-s2,δ)上是单调递减的。因此有m=k3ξ21+1/q(δ)/2≤k3ξ21+1/q(δ-s2)/2<m,这是矛盾的。因此对任意t∈[t1,+∞),有状态(x1(t),x2(t))∈Ω1。注意到|ξ2|≤(2l/((2-1q)21-1/qk1q+1k3))q/(2-q),t>t1。可得V˙2≤-k12x11+1/q-k3ξ21+1/q+l(2-1q)21-1/qk1q+1(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)2q-12-q,t>t1。(21)若k12x11+1/q≥l(2-1q)21-1/qk1q+1(2l(2-1q)21-1/qk1q+1k3)2q-12-q,则有V˙2≤-k3ξ21+1/q。所以,x1将收敛于区域|x1|≤(k3/k1)q/(1+q)(l/((2-1q)21-1/qk1q+1k3))q/(2-q)。(22)将式(18)代入式(7)可得位置环的控制器为iq*=Jnpφf×[θ¨*+BJω+ΤlJ+(2-1q)21-1/qk11+qk2(e˙θq+k1qeθ)2/q-1]。证毕。当式(18)取q=1时,控制律将退化为PD控制器,即u=-k12k2(x2+k1x1)。(23)此时,永磁同步电机位置环的控制器为iq*=J[θ¨*+Bω/J+Τl/J+k12k2(e˙θ+k1eθ)]/(npφf)‚(24)其中,k1>0,k2>3/k1,采用和定理1相似的证明方法,可以证明系统的状态将会收敛于区域|x1|≤(k3/k1)12(2l/k12k3),(25)其中k3=k2-3/k1。通过比较式(22)和式(25)可知,两种控制器设计下稳态误差收敛区域调节性能的差别。在实际应用中,为了提高系统抗扰动能力,一般调节增益到尽可能的大,这样可以保证稳态误差界比较小,如调节k1、k3使得式(22)中(2-1/q)21-1/qk11+qk3>2l、k1、k3越大,稳态误差界越小。然而,考虑到能量限幅和稳定性因素,k1、k3不能无限制的增大。因此,仅依靠增益调节的方法调节能力有限。但由式(25)可知,基于有限时间控制的控制系统误差收敛域中存在幂项q/(2-q),调节参数q足够接近2时,可以使闭环系统稳态误差区域任意小。在控制能量不需要明显增大的情况下,进一步提高了闭环系统的稳态误差和抗干扰性能。4基于pd控制的永磁共步电机位置控制比较在Matlab下对永磁同步电机位置伺服系统进行了仿真。仿真中所采用永磁同步电机的参数为:额定功率P=0.75kW,d-q轴电感L=0.01H,额定转速nN=2500r/min,极对数np=4,转子惯量J=7.24×10-4kg·m2,定子电阻Rs=1.9Ω,阻尼系数B=0.02μN·m·s·rad-1,转子永磁磁链ψf=0.353Wb,额定力矩TN=2.67N·m。在电流环都采用PI控制器情况下,永磁同步电机位置伺服系统的位置环分别采用基于反馈线性化和反步构造有限时间控制技术的控制器(5)及基于PD和反馈线性化的控制器(24),对两者进行了比较。其电流环系数相同,均为比例增益kp=30,积分增益kI=600。为了公平比较,两种控制器参数的选取基于原则:①满足定理1条件;②控制量在同一个级别;③控制效果相对较优。根据参数调节经验,基于有限时间控制器的参数选取为k1=12,q=21/17,k2=1.8。基于PD控制的控制器参数选取为:k1=6.08,k2=7.04。给定位置信号为θ=20π(rad),干扰信号为sin(10t)+cos(10t),在1.5s时突加负载转矩,突加负载转矩Tl=10N·m。图2(a)、(b)是两种控制器情况下的阶跃响应对比。图2(a)中虽然二者都有较好的控制效果,没有超调且很快到达稳态,但在相同级别的控制量(见图3)情况下,基于有限时间的控制器具有更快的响应时间。在干扰信号作用下,稳态波动也更小,抗扰动性能较好。图2(b)是两种控制器的抗负载扰