基于状态反馈的死区非线性自适应反步积分自适应控制器设计

基于状态反馈的死区非线性自适应反步积分自适应控制器设计

在机械运动系统中，驱动部分与自动部分直接接触，采用齿轮或弹簧连接，形成间隙。如果不能消除间隙的影响,间隙就会使得负载暂时失控,对驱动单元产生冲击,从而导致稳态误差和时滞,更坏的情况会产生极限环,这就限制了系统的动态性能和稳态精度并产生机械部件的附加磨损。间隙非线性的一个重要特性就是死区。通常,死区的参数是未知的,一般采用自适应的方法设计控制器。Tao等人首先针对死区提出了自适应的方法。死区补偿最直接的方法是通过构造自适应逆来抵消死区,但是这种方法只适用于死区参数可测。Zhou通过引入光滑逆来补偿死区。在运动系统中,一些学者提出了多种方法进行死区补偿控制,如变结构、神经网络和模糊自适应控制等,都取得了较好的效果。文献中设计了一种新的鲁棒自适应死区补偿控制器,采用自适应死区预补偿器,不需要构造死区逆。在含未知非线性死区的纯反馈系统中,文献中应用了自适应动态面控制的方法设计控制器,取得了良好的效果。文献中通过自适应输出反馈及平方和优化算法来设计控制器。黄进等基于死区模型进行了鲁棒自适应控制研究。针对机械运动系统中存在的死区非线性,我们应用反步积分自适应的方法,设计了基于状态反馈的控制器。该方案显著地降低了死区对机械运动系统的影响,提高了系统的跟踪性能,不仅保证了跟踪误差的有界,同时保证闭环系统内各个信号的有界。1有界的外部扰动系统的动力学模型如下:其中,ω(t)是控制输入;x1是系统输出;ϕ是已知的线性或非线性函数;θ是未知的参数;Δ(x,t)是外部扰动;ω(t)表示死区特性。图1为死区非线性模型,m为系统的刚性系数,br-bl为死区宽度。所以,死区模型可以表示为针对系统提出如下假设条件:假设1Δ(x,t)为有界的外部扰动,即|Δ(x,t)|≤B。假设2m、br、bl均为未知的参数,但是它们的正负已知,m>0,br>0,bl>0。假设3死区参数m、br、bl均为有界的,m∈[mmin,mmax],br∈[brmin,brmax],bl∈[blmin,blmax]。所以,死区的模型可以写成ω(t)=B(u)=mu+d(u(t)),(3)其中,d(u(t))=={-mbr‚u≥br；-mu‚bl≤u≤br；-mbl‚u≤bl。将方程(3)代入系统(1)中,系统可以写为其中,d(t)=d(u(t))+Δ(x,t)。d(t)可以成为“类扰动”,它是外部扰动Δ(x,t)和建模不确定项d(u(t))的合成项。显然,类扰动是有界的,可以用D表示它的界。2基于lyapunom函数的暂态误差设计本控制的目标是设计控制器使得系统的输出x(t)跟踪期望xd(t),并且跟踪误差能够渐进的趋近于零或者是一个很小的区域。设计的控制器亦能够使闭环系统中的信号都是有界的。根据反步法的步骤,定义如下的误差向量:其中,α是反步设计法中的虚拟控制,在后面会给出它的设计。第1步:˙z1=˙x1-˙xd=x2-˙xd。选取Lyapunov函数V1=12z21,(6)对V1求时间的导数,得˙V1=˙z1z1=z1(z2+α),此时,取α=-c1z1-kχ,(7)则˙V1=-c1z21+z1z2-kχz1,(8)其中c1、k都大于零,是设计参数,为了保证系统能够在模型不确定的条件下,跟踪误差仍可以逼近零,引入跟踪误差的积分χ=∫t0z1(τ)dτ。第2步:由式(5)和(7),对z2求时间导数得˙z2=˙x2-˙α-⋅⋅xd=mu+θϕ+d(t)-˙α-⋅⋅xd,(9)设计控制律为u=ˆe—u,—u=-c2z2-z1-sgn(z2)ˆD-ˆθϕ+⋅⋅xd+˙α,˙ˆθ=r1ϕz2,˙ˆe=-r1—uz2,˙ˆD=-r3|z2|,其中,e=1/m;r1、r2、r3均大于零,是设计参数;ˆθ、ˆe、ˆD分别是参数θ、e、D的估计值。为了证明所设计的控制器的有效性,选取Lyapunov函数:V=V1+12z22+12kχ2+12r1∼θ2+12r2∼e2+12r3∼D2,(10)其中,∼θ=θ-ˆθ;∼e=e-ˆe;∼D=D-ˆD。对其求时间导数,得˙V=-c1z21+z1z2-kχz1+z1˙z2-c2z22+kχz1-1r1∼θ˙ˆθ-mr2∼e˙ˆe-1r3∼D˙ˆD。由mu=mˆe—u=—u-m∼e—u‚将设计的控制律代入得V˙≤-c1z12-c2z22。(11)显然,V是不增的函数。z1、z2、θ^、e^和D^都是有界的。根据LaSalle-Yoshizawa定理,Lyapuov函数保证了系统的一致稳定性。当t→∞时,limt→∞[x(t)-xd(t)]=0。系统的暂态跟踪误差,由|z1|22≤1c1V(0),V(0)=12r1θ∼2(0)+12r2e∼2(0)+12r3D∼2(0),得|z1|2=1c1[12r1θ∼2(0)+12r2e∼2(0)+12r3D∼2(0)]12。系统的暂态跟踪性能依赖于初始估计误差,参数的估计值越接近参数的初始值,跟踪性能越好。3控制策略仿真为了证明上述所设计的控制器的有效性,运用Matlab进行仿真。仿真参数取m=1‚br=0.5‚bl=-0.6‚θ=-0.1‚ϕ=x˙‚外部干扰Δ(x,t)=0.1sin(10t)。为了能够较好地观察系统参数的适应过程,期望输出轨迹选取成分比较丰富的信号:xd=-1+cos(2t)+sin(5t)。仿真中的初始设置为x1(0)=-0.5‚x2(0)=0‚θ^(0)=0‚e^(0)=0‚D^(0)=0‚c1=8‚c2=6‚k=5‚r1=0.1‚r2=0.05‚r3=0.04。仿真结果如图2—图4所示。图2为本控制方法的跟踪误差,从图2中可以看出,初始阶段,由于控制器的初始值与系统的初始值不同,跟踪误差较大;随着时间的推移,自适应律的发挥调节作用,使跟踪误差越来越小,最后得到满意的跟踪性能。图3给出了该控制策略的期望输出信号和实际信号。图4为该控制策略的相应控制输入。4基于lyapunom理论的控制策略采用反步