电磁学-习题与讨论课

有一外半径R1、内半径R2的金属球壳,其中放一半径为R3的金属球，球壳和球均带有电量10-8C的正电荷。问：(1)两球电荷分布。(2)球心的电势。(3)球壳电势。解：电荷分布如图所示球面q,壳内表面-q,壳外表面2qR3R2R1++++++++--------++++++++++++由高斯定律可得：(2)(3)第一页第二页，共31页。求半径为R

、带电量为q的均匀带电细圆环轴线上的电场。解：在圆环上取电荷元dq各电荷元在P点方向不同，分布于一个圆锥面上。由对称性可知讨论：1、环心处2、3、令处E有极大值第二页第三页，共31页。均匀带电圆平面的电场(电荷面密度

)。OxrP叠加原理思想：圆盘——由许多均匀带电圆环组成。解：任取半径为r的圆环由上题结果得：讨论：1、x→0，或R→∞时，——无限大带电平面的电场2、x＞＞R时，想一想——简化为点电荷第三页第四页，共31页。真空中高斯定理(Gauss’law)真空中静电场内，通过任意封闭曲面(高斯面)的电通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的倍：讨论：1.式中各项的含义S：封闭曲面——高斯面；：总场,S内外所有电荷均有贡献；——真空电容率（介电常数）S内的净电荷；只有S内电荷有贡献。2.揭示了静电场中“场”和“源”的关系——电场线有头有尾静电场的重要性质之一：——静电场是有源场3.利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场成立条件：静电场求解条件：电场分布具有某些对称性选择恰当的高斯面，使中的以标量形式提到积分号外，从而简便地求出分布。第四页第五页，共31页。中的能以标量当场源电荷分布具有某种对称性时，应用高斯定律，选取适当的高斯面，使面积分形式提出来，均匀带电球壳均匀带电无限大平板均匀带电细棒S即可求出场强。常见类型：场源电荷分布球对称性轴对称性面对称性第五页第六页，共31页。例题求电量为Q、半径为R的均匀带电球面的场强分布。源球对称场球对称R0ER选高斯面

第六页第七页，共31页。求均匀带电球体(Q、R)的电场分布。R解：对称性分析作以O为中心,r为半径的球形面S，S面上各点彼此等价，大小相等，方向沿径向。以S为高斯面：由高斯定理：令体电荷密度第七页第八页，共31页。练习1.求均匀带电球面()的电场分布，并画出曲线。02.如何理解带电球面处值突变？带电面上场强E突变是采用面模型的结果，实际问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃面模型而还其体密度分布的本来面目。3、计算带电球层(R1,R2,

)的电场分布。解：选一半径为r

的球形高斯面SSr由高斯定理第八页第九页，共31页。例2求无限长均匀带电直线(

)的电场。对称性分析：P点处合场强垂直于带电直线,与P地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面。高斯面：取长L的圆柱面，加上底、下底构成高斯面S。=0=0由高斯定理第九页第十页，共31页。1.无限长均匀带电柱面的电场分布？练习对称性分析:视为无限长均匀带电直线的集合。选同轴圆柱型高斯面，由高斯定理计算：高斯面rl高斯面lr当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，能否用高斯定理求电场分布？第十页第十一页，共31页。例3.求无限大均匀带电平面的电场(电荷面密度

)。对称性分析：方向垂直于带电平面，离带电平面距离相等的场点彼此等价。选择圆柱体表面为高斯面，如图：σ

S=0根据高斯定理得——均匀电场其方向由σ的符号决定第十一页第十二页，共31页。1.电势(electricpotential)单位：伏特（V）静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力所做的功。2.电势差(electricpotentialdifference)点电荷q在静电场中a沿任意路径移至b过程中静电力做的功：电势和电势差讨论：（1）U为空间标量函数；（2）U具有相对意义，其值与零势点选取有关，但Uab与零势点选取无关。（3）电势遵从叠加原理：即：点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。(零势点相同)（4）由保守力与其相关势能的关系：3.静电力做的功第十二页第十三页，共31页。常选无穷远或地球电势为零。电势差与电势的零点选取无关。(3)由电势定义计算电势的计算(两种基本方法)1.场强积分法(由定义求)(1)首先确定分布;(2)选零势点和便于计算的积分路径;2.利用电势叠加原理点电荷系连续分布的带电体第十三页第十四页，共31页。例1.一半径为R的均匀带电球体，带电量为q。求其电势分布。解：由电荷分布可知，电场沿径向.选择同心球面为高斯面，S根据高斯定律得第十四页第十五页，共31页。例2.

求无限大均匀带电平面(

)场中电势分布。解：电场分布因为电荷无限分布，故在有限远处选零势点.令O点电势为零。沿X轴方向积分：区域：区域：U—x曲线如图第十五页第十六页，共31页。例1.

求无限长载流圆柱形导体的磁场分布。解：磁场分布分析横截面图.Ir作半径为r的圆环为积分回路LL根据安培环路定理安培环路定理的应用第十六页第十七页，共31页。例2.求长直螺线管内的磁感强度(I,n已知)。解：分析磁场分布管内中央部分，轴向B均匀，管外B近似为零。作安培回路abcd如图：Pcdab根据安培环路定理第十七页第十八页，共31页。例3.求载流螺绕环的磁场分布(R1、R2、N、I已知)。R1R2解：分析磁场分布——对称性相等点的集合——同心圆环以中心O,半径r的圆环为安培环路L根据安培环路定理第十八页第十九页，共31页。例4.为了测试某种材料的相对磁导率,常将材料做成横截面为圆形的螺绕环芯子,设环上绕有线圈200匝,平均围长0.1m,横截面积为510-5m2,当线圈内通有电流0.1A时用磁通计测得穿过横截面积的磁通量为610-5Wb,试计算该材料的相对磁导率。截面磁场近似均匀解：选如图所示的安培环路第十九页第二十页，共31页。例5.导线ab弯成如图形状，半径r=0.10m，B=0.50T,转速n=3600转/分。电路总电阻为1000。求感应电动势和感应电流以及最大感应电动势和最大感应电流。

rab解：依题意根据法拉第电磁感应定律得最大感应电动势和最大感应电流为：第二十页第二十一页，共31页。例5.一长直导线通以电流(I0为常数)。旁边有一个边长分别为l1和l2的矩形线圈abcd与长直电流共面，ab边距长直电流r。求线圈中的感应电动势。dcbai解：建立坐标系Ox如图xOx处的磁感应强度为：如图取dS=l2dxxdx方向时根据法拉第电磁感应定律得根据楞次定律可知第二十一页第二十二页，共31页。Ivaθcd解：在cd上任取dlv×Bx根据动生电动势公式得：方向：c至d。例6：一直导线cd在一无限长直电流磁场中作切割磁力线运动，cd长为L。求：动生电动势。第二十二页第二十三页，共31页。1.感生电场——电磁场的基本方程之一可见：(1)变化的磁场能够激发电场。(2)“-”的含义：负右手螺旋(3)感生电场的性质：——无源、非保守(涡旋)场(4)对场中电荷的作用力：2.感生电动势的计算1.定义求解：若导体不闭合，则该方法只能用于E感为已知或可求解的情况。2.法拉第电磁感应定律求解：感生电场感生电动势的计算若导体不闭合，需作辅助线。第二十三页第二十四页，共31页。例1.

已知半径为R的长直螺线管中的电流随时间变化，若管内磁感应强度随时间增大，即=恒量>0，求感生电场分布。

解：选择一回路L,逆时针绕行感生电场的方向如图：第二十四页第二十五页，共31页。例2.在上题长直螺线管一截面内放置长为2R的金属棒(图示)，ab=bc=R，求棒中感生电动势。解一：定义法感生电场分布：第二十五页第二十六页，共31页。解二：法拉第电磁感应定律求解连接,形成闭合回路半径通过的磁通量:第二十六页第二十七页，共31页。例3.某空间区域存在垂直向里且随时间变化的非均匀磁场B=kxcost。其中有一弯成

角的金属框COD，OD与x轴重合。一导体棒沿x方向以速度v匀速运动。设t=0时x=0，求框内的感应电动势。v

CODxBy解：设某时刻导体棒位于l处l任取xdxdS根据法拉第电磁感应定律：l=vt第二十七页第二十八页，共31页。例1.长为l的螺线管，横断面为S，线圈总匝数为N，管中磁介质的磁导率为

。求自感系数。解：线圈体积：例2.一电缆由两个“无限长”的同轴圆桶状导体组成，其间充满磁导率为

的磁介质，电流I从内桶流进，外桶流出。设内、外桶半径分别为R