人教版物理必修第二册同步讲练第7章 万有引力与宇宙航行 2　万有引力定律 (含解析)

万有引力定律核心素养目标物理观念理解太阳与行星间引力的存在，掌握万有引力定律的内容及其表达式。科学思维根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力公式，通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，掌握万有引力表达式的适用条件及应用。科学态度与责任严谨的科学态度，求真、求简的科学精神与方法，探求宇宙真理的热情。知识点一行星与太阳间的引力[观图助学](1)为什么苹果从树上落向地面而不飞上天空？(2)在我们周围物体都要受到地球引力的作用，那么地球也受到太阳的引力作用吗？为什么地球不会落到太阳的表面，而是环绕太阳转动？1.推导过程如右图所示，设行星的质量为m，速度为v，行星与太阳间的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为F＝meq\f(v2,r)①天文观测可以测得行星公转的周期T，并据此可求出行星的速度v＝eq\f(2πr,T)②联立①②整理后得F＝eq\f(4π2mr,T2)③根据开普勒第三定律得eq\f(r3,T2)＝k④联立③④得F＝4π2keq\f(m,r2)上式除m、r以外，其余都是常量，所以F∝eq\f(m,r2)力的作用是相互的，行星与太阳的引力也应与太阳的质量m太成正比，即F∝eq\f(m太m,r2)。2.表达式：F＝Geq\f(m太m,r2)式中量G与太阳、行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。苹果落向地面是地球对苹果的引力造成的。正是因为太阳的引力作用，行星才能环绕太阳转动。太阳对行星的引力太阳与行星间引力示意图太阳吸引行星，行星也吸引太阳知识点二月—地检验[观图助学]地球对卫星的引力与月球对“嫦娥二号”的引力性质是否相同？遵守的规律是否相同？1.假设(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝Geq\f(m月m地,r2)。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝eq\f(F,m月)＝Geq\f(m地,r2)。(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝eq\f(F,m苹)＝Geq\f(m地,R2)。上述公式中m地为地球质量，m月为月球质量，r为地球中心与月球中心的距离，R是地球中心与苹果间的距离。由以上两式可得eq\f(a月,a苹)＝eq\f(R2,r2)。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以eq\f(a月,a苹)＝eq\f(1,602)。2.结论：月球运动的向心加速度与我们的预期符合得很好。这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。[思考判断](1)月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡。(×)(2)月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的。(√)(3)地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质的力。(×)知识点三万有引力定律1.内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。,2.表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。[思考判断](1)由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点。(√)(2)两个学生的质量都是50kg，相距1m时我们可以直接应用公式F＝Geq\f(Mm,r2)计算两人间的万有引力的大小。(×)万有引力定律指出，任何物体间都存在着引力，为什么当两个同学靠近时并没有吸引到一起呢？是因为两个同学间的引力太小了，可以忽略不计。知识点四引力常量1.引力常量的测定英国物理学家卡文迪什在实验室里通过扭秤装置，比较准确地得出了G值，当时测得G＝6.745×10－11N·m2/kg2。国际科技数据委员会2014年的推荐值G＝6.67408(31)×10－11N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2。2.引力常量测定的意义(1)卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。(2)引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。卡文迪什的扭秤实验扭秤的关键是在石英丝上装一个平面镜，显示石英丝极微小的扭转角，从而测出极微小的扭转力。核心要点一万有引力定律的理解[问题探究]太阳与行星之间、地球与月球之间以及任何物体之间都存在万有引力。(1)公式F＝Geq\f(m1m2,r2)中r的含义是什么？(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)计算出来吗？答案(1)r指的是两个质点间的距离。(2)不能。万有引力定律的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间万有引力的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间r不易确定。[探究归纳]1.对万有引力定律表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)的说明(1)引力常量G：G＝6.67×10－11N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力。(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。2.F＝Geq\f(m1m2,r2)的适用条件(1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。3.万有引力的四个特性普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关[试题案例][例1]对于万有引力定律的数学表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)，下列说法中正确的是()A.只要是两个球体，就可用上式计算万有引力B.r趋近0时，万有引力趋于无穷大C.m1、m2受到的万有引力总是大小相等D.m1、m2受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力解析万有引力定律的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)，适用于质量分布均匀的两个球体之间万有引力的计算，选项A错误；当r→0时，两个物体均不能看成质点，上式不再成立，选项B错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反、作用在两个物体上，故选项C正确，D错误。答案C[针对训练1](多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是()A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力B.只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝eq\f(Gm1m2,r2)计算C.由F＝eq\f(Gm1m2,r2)知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大D.引力常量G的测出，证明了万有引力定律的正确性解析任何有质量的物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错误；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝eq\f(Gm1m2,r2)来计算，B错误；物体间的万有引力与它们之间的距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确；引力常量的测出，证明了万有引力定律的正确性，D正确。答案CD核心要点二万有引力定律的简单应用1.任何两个物体间都存在着万有引力，但F＝Geq\f(m1m2,r2)有其适用范围，在计算万有引力的大小时注意判断是否符合适用条件。2.在应用万有引力定律表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)进行有关计算时，r是指两质点(或两球心，或质点与球心)之间的距离，而不是两物体(球)之间的距离。[试题案例][例2](多选)(2019·河北武邑中学期中考试)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道均可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，下列说法正确的是()A.太阳引力远大于月球引力B.太阳引力与月球引力相差不大C.月球对不同区域海水的引力大小相等D.月球对不同区域海水的引力大小有差异解析根据F＝Geq\f(Mm,R2)，可得eq\f(F太阳,F月)＝eq\f(M太阳,M月)·eq\f(Req\o\al(2,月),Req\o\al(2,太阳))，代入数据可知，太阳对地球上相同质量海水的引力远大于月球对其的引力，则A正确，B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，C错误，D正确。答案AD[针对训练2]如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为()A.Geq\f(m1m2,r2) B.Geq\f(m1m2,req\o\al(2,1))C.Geq\f(m1m2,（r1＋r2）2) D.Geq\f(m1m2,（r1＋r2＋r）2)解析两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为F＝Geq\f(m1m2,（r1＋r2＋r）2)，故选项D正确。答案D[针对训练3]同步卫星距离地面的高度约为地球半径的6倍，那么，某卫星在同步轨道上运行时受到的引力是它在地面上受到的引力的n倍，则n等于()A.7 B.eq\f(1,49)C.eq\f(1,36) D.49解析该卫星在同步轨道上受到的万有引力F1＝Geq\f(Mm,（6R＋R）2)＝eq\f(GMm,49R2)，该卫星在地面上受到的万有引力F2＝Geq\f(Mm,R2)，n＝eq\f(F1,F2)＝eq\f(1,49)，故B正确，A、C、D错误。答案B核心要点三万有引力与重力的关系[问题探究]假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果将地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？答案(1)在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心。(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。[探究归纳]1.重力为万有引力的分力如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的万有引力为F，方向指向地心O，由万有引力定律公式得F＝Geq\f(Mm,R2)。图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况下mg＜Geq\f(Mm,R2)，方向并不指向地心。2.影响重力(重力加速度)大小的因素(1)纬度对重力的影响重力与万有引力是同一性质的力①物体在赤道上，F、F1、mg三者同向，F1达到最大值mω2R，由mg＝Geq\f(Mm,R2)－mω2R知，重力最小。②物体在地球两极处，由于F1＝0，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，重力最大，方向指向地心。③物体在地面上其他位置，重力mg＜Geq\f(Mm,R2)，方向并不指向地心。(2)高度对重力的影响(不考虑自转)①在地球表面：mg＝Geq\f(Mm,R2)，g＝eq\f(GM,R2)，g为常数。黄金代换GM＝gR2②在距地面高h处：mg′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，高度h越大，重力加速度g′越小。③g和g′的联系：g′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R＋h)))eq\s\up12(2)g。[试题案例][例3]一物体在地球表面重16N，它在以5__m/s2的加速度加速上升eq\a\vs4\al(满足牛顿第二定律)的火箭中的视重(即物体对火箭竖直向下的压力)为9N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面重力加速度取10m/s2)()A.2倍 B.3倍C.4倍 D.0.5倍解析设此时火箭离地球表面高度为h。由牛顿第二定律得FN－mg′＝ma，①由地球表面处mg＝Geq\f(Mm,R2)②由①可得g′＝0.625m/s2。③又因h处mg′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，④由②④得eq\f(g′,g)＝eq\f(R2,（R＋h）2)。代入数据，得h＝3R，故选项B正确。答案B[针对训练4]已知某星球的自转周期为T0，在该星球赤道上以初速度v竖直上抛一物体，经时间t物体落回星球表面。已知物体在赤道上随星球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则该星球的转动周期T要变为多大？解析物体抛出后，在星球表面上做竖直上抛运动。设星球对物体产生的“重力加速度”为g，则v＝g×eq\f(t,2)，物体在赤道上随星球自转的向心加速度为a，设该星球的半径是R，根据向心加速度的表达式可得a＝eq\f(4π2R,Teq\o\al(2,0))，R＝eq\f(aTeq\o\al(2,0),4π2)，赤道上的物体“飘”起来，物体将绕星球表面做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设该星球的转动周期为T，根据牛顿第二定律有mg＝eq\f(m·4π2R,T2)，联立得T＝T0eq\r(\f(at,2v))。答案T0eq\r(\f(at,2v))1.在牛顿发现太阳与行星间引力的过程中，得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式，这是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是()A.研究对象的选取 B.理想化过程C.类比法 D.等效的思维方法解析太阳对行星的引力表达式F∝eq\f(m,r2)，被吸引的物体为行星，其质量为m。行星对太阳的引力和太阳对行星的引力是同性质的力，行星对太阳引力的表达式与太阳对行星引力的表达式应有相同的形式。如果被吸引的物体是太阳且质量为M，则行星对太阳引力的表达式应为F∝eq\f(M,r2)，这一论证过程是类比论证过程。答案C2.关于引力常量，下列说法正确的是()A.引力常量是两个质量为1kg的质点相距1m时的相互吸引力B.牛顿发现了万有引力定律，给出了引力常量的值C.引力常量的测定，证明了万有引力的存在D.引力常量G是不变的，其数值大小与单位制的选择无关解析引力常量的大小等于两个质量为1kg的质点相距1m时的万有引力的数值，而引力常量不是两个质量为1kg的质点相距1m时的相互吸引力，选项A错误；牛顿发现了万有引力定律，但他并未测出引力常量的值，引力常量的值是卡文迪什巧妙地利用扭秤装置在实验室中测出的，选项B错误；引力常量的测定，证明了万有引力的存在，选项C正确；引力常量G是一个常量，其大小与单位制的选取有关，在国际单位制中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，故选项D错误。答案C3.一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.2倍 D.4倍解析F地＝eq\f(GM0m,req\o\al(2,0))，F星＝eq\f(GMm,r2)＝eq\f(\f(1,2)GM0m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r0))\s\up12(2))＝2eq\f(GM0m,req\o\al(2,0))＝2F地，选项C正确。答案C4.在离地面高度等于地球半径的地方，重力加速度的大小是地球表面处的()A.4倍 B.2倍C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析由mg＝Geq\f(mM,r2)知，g∝eq\f(1,r2)，则有g0∝eq\f(1,R2)，g′∝eq\f(1,（R＋h）2)，当h＝R时，g′＝eq\f(1,4)g0，选项D正确。答案D5.如图所示，两星球相距为L，质量比为mA∶mB＝1∶9，两星球半径远小于L。从星球A沿AB连线向B以某一初速度发射一探测器。只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是()A.探测器的速度一直减小B.探测器在距星球A为eq\f(L,4)处加速度为零C.若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零D.探测器在距星球A为eq\f(L,3)处加速度为零解析探测器从A向B运动，所受的万有引力合力先向左再向右，则探测器的速度先减小后增大，选项A、C错误；当探测器合力为零时，加速度为零，则有eq\f(GmAm,req\o\al(2,A))＝eq\f(GmBm,req\o\al(2,B))，因为mA∶mB＝1∶9，则rA∶rB＝1∶3，知探测器距离星球A的距离为x＝eq\f(L,4)，选项B正确，D错误。答案B基础过关1.(2019·江苏盐城学业考试)2020年，我国将发射一颗火星探测卫星。在探测卫星离开地球的过程中，用R表示卫星到地心的距离，用F表示卫星受到地球的引力。下列图像中正确的是()解析F表示卫星受到地球的引力，根据万有引力定律公式，有F＝Geq\f(Mm,R2)，故F－eq\f(1,R2)图像是直线，故选项A、B、C错误，D正确。答案D2.要使两物体间的万有引力减小到原来的eq\f(1,4)，下列办法不可采用的是()A.使物体的质量各减小一半，距离不变B.使其中一个物体的质量减小到原来的eq\f(1,4)，距离不变C.使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变D.使两物体间的距离和质量都减为原来的eq\f(1,4)解析根据F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，A、B、C三种情况中万有引力均减为原来的eq\f(1,4)，当距离和质量都减为原来的eq\f(1,4)时，万有引力不变，选项D符合题意。答案D3.某实心均匀球半径为R，质量为M，在球壳外离球面h远处有一质量为m的质点，则它们之间万有引力的大小为()A.Geq\f(Mm,R2) B.Geq\f(Mm,（R＋h）2)C.Geq\f(Mm,h2) D.Geq\f(Mm,R2＋h2)解析由万有引力公式得F＝Geq\f(Mm,r2)＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，选项B正确。答案B4.(2019·河南开封高中期中考试)已知地球半径为R，将物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h为()A.R B.2RC.eq\r(2)R D.(eq\r(2)－1)R解析地面上F＝Geq\f(Mm,R2)，高度为h处F′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，因为F′＝eq\f(1,2)F，所以eq\f(（R＋h）2,R2)＝eq\f(2,1)，所以h＝(eq\r(2)－1)R，故D正确，A、B、C错误。答案D5.万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用的规律。以下说法正确的是()A.物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的B.人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大C.人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供D.宇宙飞船内的航天员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用解析物体的重力是由地球的万有引力产生的，万有引力的大小与物体和地球质量的乘积成正比，与两者距离的二次方成反比，选项A、B错误；人造地球卫星绕地球运动的向心力是由万有引力提供的，选项C正确；宇宙飞船内的航天员处于失重状态，是因为航天员受到的万有引力全部提供了航天员做圆周运动所需的向心力，选项D错误。答案C6.地球质量大约是月球质量的81倍，在“嫦娥三号”探月卫星通过月、地之间某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为()A.1∶3 B.1∶9C.1∶27 D.9∶1解析由万有引力定律可得，月球对探月卫星的引力F＝Geq\f(M月m,req\o\al(2,1))，地球对探月卫星的引力F＝Geq\f(M地m,req\o\al(2,2))，由以上两式可得eq\f(r1,r2)＝eq\r(\f(M月,M地))＝eq\r(\f(1,81))＝eq\f(1,9)，故选项B正确。答案B7.(多选)地球绕地轴自转时，对静止在地面上的某一个物体，下列说法正确的是()A.物体的重力并不等于它随地球自转所需要的向心力B.在地面上的任何位置，物体向心加速度的大小都相等，方向都指向地心C.在地面上的任何位置，物体向心加速度的方向都垂直指向地球的自转轴D.物体随地球自转的向心加速度随着地球纬度的减小而增大解析考虑地球自转的作用效果时，地面上的物体随着地球的自转而做圆周运动，其运动平面与地轴垂直，向心力的大小为mrω2，选项B错误，C正确；由于在不同位置的轨道半径各不相同，故向心力大小不一样，在赤道时向心力最大，选项D正确；地面上的物体随地球自转做圆周运动时的向心力远小于万有引力(重力近似等于万有引力)，选项A正确。答案ACD能力提升8.(多选)月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的eq\f(1,6)，一个质量为600kg的飞行器到达月球后()A.在月球上的质量仍为600kgB.在月球表面受到的重力为980NC.在月球表面上方的高空中所受万有引力小于980ND.在月球上的质量将小于600kg解析物体的质量与物体所处的位置及运动状态无关，选项A正确，D错误；由题意可知，物体在月球表面上所受的重力为地球表面上所受重力的eq\f(1,6)，即F＝eq\f(1