2021-2022学年广东省深圳市光明区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年广东省深圳市光明区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）1．（3分）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”下面以数学家名字命名的图形中，是中心对称图形的是（）A．谢尔宾斯基三角形 B．科克曲线 C．赵爽弦图 D．毕达哥拉斯树2．（3分）分式有意义的条件是（）A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x为任意实数3．（3分）五边形的内角和是（）A．180° B．360° C．540° D．720°4．（3分）多项式8a2b+4ab中各项的公因式是（）A．ab B．4ab C．8a2b D．8a3b25．（3分）不等式x+1＞0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）下列由左边到右边的变形是因式分解的是（）A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 C．a2+b2＝（a+b）2 D．4a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3）7．（3分）下列说法正确的是（）A．四边形的外角和是360° B．如果a＞b，那么ac＞bc C．点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，2） D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形8．（3分）直线y＝﹣x+b与y＝kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式﹣x+b＜kx的解集为（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞﹣3 D．x＜﹣39．（3分）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（）A．3 B．2 C．1 D．10．（3分）如图，AC是ABCD的对角线，将▱ABCD折叠，使得点A与点C重合，再将其打开展平，得折痕EF，EF与AC交于点O，G为CF的中点，连接OG、CE，则下列结论：①DF＝BE；②∠ACD＝∠ACE；③OG＝AE；④S△CBE＝S四边形ABCD．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：2x2﹣2＝．12．（3分）若分式方程有增根，则a＝．13．（3分）如果将点A（﹣3，﹣1）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到点B，那么点B的坐标是．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D，则△ACE的周长为．15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2AD，AD＝5，M为AB的中点，CM＝6，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作▱CEDF，则EF的最小值是．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16．（6分）解不等式组．17．（6分）解方程．18．（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝319．（8分）如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE＝DF．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AB＝10，BC＝12，求△ABC的面积．20．（8分）北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融受到大家的喜爱，某冬奥商品授权经销店欲购进这两种纪念品，已知每件冰墩墩的进价比雪容融的进价贵10元，用450元购进冰墩墩的数量与用360元购进雪容融的数量相同．（1）求冰墩墩和雪容融每件的进价分别为多少元？（2）若该商店冰墩墩纪念品每件售价65元，雪容融纪念品每件售价50元，这两种纪念品共购进200件，全部售出后总获利不低于2400元，求雪容融纪念品最多购进多少件？21．（10分）如图1，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C和点B，已知点A（﹣2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）P为线段AB上一个动点，若S△ABC＝3S△BCP，求此时点P的坐标；（3）点D是BO的中点，M为直线BC上的一个动点，过M为作MN∥y轴交直线AB于点N，若以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．22．（10分）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE．【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC＝45°，CD＝，AD＝4，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．

2021-2022学年广东省深圳市光明区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）1．（3分）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”下面以数学家名字命名的图形中，是中心对称图形的是（）A．谢尔宾斯基三角形 B．科克曲线 C．赵爽弦图 D．毕达哥拉斯树【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：C．2．（3分）分式有意义的条件是（）A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x为任意实数【解答】解：要使有意义，得x+1≠0．解得x≠﹣1，当x≠﹣1时，有意义，故选：A．3．（3分）五边形的内角和是（）A．180° B．360° C．540° D．720°【解答】解：五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°故选：C．4．（3分）多项式8a2b+4ab中各项的公因式是（）A．ab B．4ab C．8a2b D．8a3b2【解答】解：这两项系数的最大公约数是4，两项的字母部分a2b2与ab都含有字母a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是1，因此多项式8a2b+4ab中各项的公因式是4ab，故选：B．5．（3分）不等式x+1＞0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：不等式x+1＞0，解得：x＞﹣1，表示在数轴上，如图所示：故选：A．6．（3分）下列由左边到右边的变形是因式分解的是（）A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 C．a2+b2＝（a+b）2 D．4a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3）【解答】解：A、是整式的乘法，是因式分解，故本选项不符合题意；B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；C、左边与右边不相等，是错误的因式分解，故本选项不符合题意；D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．故选：D．7．（3分）下列说法正确的是（）A．四边形的外角和是360° B．如果a＞b，那么ac＞bc C．点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，2） D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【解答】解：A、∵四边形的外角和是360°，∴选项A符合题意；B、如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc，∴选项B不符合题意；C、∵点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），∴选项C不符合题意；D、∵一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：A．8．（3分）直线y＝﹣x+b与y＝kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式﹣x+b＜kx的解集为（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3【解答】解：根据图象可知：直线y＝﹣x+b与y＝kx的交点坐标为：（﹣1，﹣3），∴关于x的不等式﹣x+b＜kx的解集为x＞﹣1．故选：A．9．（3分）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（）A．3 B．2 C．1 D．【解答】解：过P作PE⊥OB于E，∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，∵OD＝DP，∴∠BOP＝∠DPO，∴∠AOP＝∠DPO，∴PD∥OA，∴∠PDE＝∠AOB，∵∠AOB＝30°，∴∠PDE＝30°，∵∠PEO＝90°，DP＝2，∴PE＝DP＝1，∴PC＝1，故选：C．10．（3分）如图，AC是ABCD的对角线，将▱ABCD折叠，使得点A与点C重合，再将其打开展平，得折痕EF，EF与AC交于点O，G为CF的中点，连接OG、CE，则下列结论：①DF＝BE；②∠ACD＝∠ACE；③OG＝AE；④S△CBE＝S四边形ABCD．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠FCO＝∠EAO，由折叠的性质得，AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°，在△AOE与△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF，∴DF＝BE，故①正确；∵△AOE≌△COF，∴OF＝OE，∴CF＝CE，∴∠ACF＝∠ACE，故②正确；∵∠FOC＝90°，G为CF的中点，∴OG＝CF，∴OG＝AE，故③正确；∵只有当E是AB的3等分点时，S△BCE＝S△ABC＝S四边形ABCD，而BE不一定等于AB，∴S△CBE不一定S四边形ABCD，故④错误，综上所述：其中正确的有①②③，共3个．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．故答案为：2（x+1）（x﹣1）．12．（3分）若分式方程有增根，则a＝1．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2得，1﹣x＝﹣a﹣2（x﹣2），整理得，a＝﹣x+3，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，解得x＝2，∴a＝﹣2+3＝1．故答案为1．13．（3分）如果将点A（﹣3，﹣1）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到点B，那么点B的坐标是（﹣1，﹣4）．【解答】解：将点A（﹣3，﹣1）向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度得到点B（﹣3+2，﹣1﹣3）即（﹣1，﹣4），故答案为：（﹣1，﹣4）．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D，则△ACE的周长为16．【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝16，故答案为：16．15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2AD，AD＝5，M为AB的中点，CM＝6，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作▱CEDF，则EF的最小值是2．【解答】解：如图，设DC与EF的交点为O，连接OB交MC于H，连接OM，∵四边形CEDF是平行四边形，∴DO＝CO，EO＝FO，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝5，∴BC＝AD＝5，AB＝CD＝10，CD∥AB，∴CO＝5＝DO，∵点M是AB的中点，∴AM＝BM＝5，∴OC＝BM＝5，∴四边形BCOM是平行四边形，∵OC＝BC＝5，∴四边形BCOM是菱形，∴OB⊥CM，CH＝HM＝3，∴OH＝＝＝，∵OE≥OH，∴当点E与点H重合时，OE有最小值，即EF有最小值，∴EF的最小值为2OE＝2，故答案为：2．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16．（6分）解不等式组．【解答】解：，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＞﹣4，则不等式组的解集为x＞1．17．（6分）解方程．【解答】解：将原方程两边同乘以（x﹣4），得3﹣x＝x﹣4+1（4分）2x＝6x＝3，（6分）经检验，x＝3不是增根；（7分）故原方程的解是x＝3．（8分）18．（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝3【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，当a＝3时，原式＝＝．19．（8分）如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE＝DF．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AB＝10，BC＝12，求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵D是△ABC的边BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在Rt△BDF与Rt△CDE中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；（2）连接AD，如图，∵D是△ABC的边BC的中点，△ABC是等腰三角形，BC＝12，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，∴AD＝，∴S△ABC＝BC•AD＝＝48．20．（8分）北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融受到大家的喜爱，某冬奥商品授权经销店欲购进这两种纪念品，已知每件冰墩墩的进价比雪容融的进价贵10元，用450元购进冰墩墩的数量与用360元购进雪容融的数量相同．（1）求冰墩墩和雪容融每件的进价分别为多少元？（2）若该商店冰墩墩纪念品每件售价65元，雪容融纪念品每件售价50元，这两种纪念品共购进200件，全部售出后总获利不低于2400元，求雪容融纪念品最多购进多少件？【解答】解：（1）设每件雪容融的进价为x元，则每件冰墩墩的进价为（x+10）元，依题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝40+10＝50．答：每件冰墩墩的进价为50元，每件雪容融的进价为40元．（2）设购进雪容融纪念品m件，则购进冰墩墩纪念品（200﹣m）件，依题意得：（65﹣50）（200﹣m）+（50﹣40）m≥2400，解得：m≤120．答：雪容融纪念品最多购进120件．21．（10分）如图1，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C和点B，已知点A（﹣2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）P为线段AB上一个动点，若S△ABC＝3S△BCP，求此时点P的坐标；（3）点D是BO的中点，M为直线BC上的一个动点，过M为作MN∥y轴交直线AB于点N，若以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C和点B，∴点C（4，0）和点B（0，4），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（﹣2，0），B（0，4）代入解析式得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4；（2）∵点A（﹣2，0），点C（4，0），∴AC＝OC+OA＝4+2＝6，∴S△ABC＝×6×4＝12，∵S△ABC＝3S△BCP，∴S△BCP＝4，设点P的坐标为（a，2a+4），∴S△BCP＝S△ABC﹣S△ACP＝12﹣×6（2a+4）＝12﹣6a﹣12＝﹣6a＝4，∴a＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，）；（3）设M的横坐标为x，∴M（x，﹣x+4），N（x，2x+4），∴MN＝|（2x+4）﹣（﹣x+4）|＝|3x|，∵B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，MN∥y轴∴MN＝BD，∵点B（0，4），点D是BO的中点，∴BD＝2，∴|3x|＝2，解得x＝或x＝﹣．∴点M的坐标为（，）或（﹣，）．22．（10分）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE．【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线