2022-2023学年陕西省西安市长安区高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年陕西省西安市长安区高一下学期期末数学试题一、单选题1．复数的共轭复数所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】结合复数的除法运算、共轭复数的概念和复数的几何意义即可得解.【详解】由题意，所以复数的共轭复数，所以其共轭复数在复平面内对应的点为，在第二象限.故选：B.2．为了解学生参加体育锻炼的情况,某学校从高一、高二、高三三个年级中按照分层抽样的方式选取一定数量的学生展开调查.其中高一年级抽取了人,且高一、高二、高三年级学生人数为、、.则总共抽取的学生人数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分层抽样的相关知识计算即可.【详解】设总共抽取的学生人数为,则,解得,即总共抽取的学生人数为.故选:C.3．对于任意两个向量，，下列说法一定正确的是（

）A．若，且，则 B．C．，则或 D．【答案】B【分析】根据向量的定义判断A，根据向量加减的性质判断B、D，根据向量数量积的定义判断C.【详解】对于A：向量不可以比较大小，故A错误；对于B：，当且仅当，反向时取等号，故B正确；对于C：若，则或或，故C错误；对于D：，当且仅当，同向时取等号，故D错误.故选：B4．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将转化为，转化为，由三棱锥是正三棱锥可知，，即可将转化为，转化为，结合勾股定理即可求解．【详解】为正三棱椎，为的中心，∴平面，平面，∴，，△ABC是等边三角形，∴，，故，，则．故选：D.

5．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记，则（

）A．事件“”的概率为 B．事件“”与“”对立C．事件“”的概率为 D．事件“是偶数”与“”互斥【答案】D【分析】利用古典概率计算判断AC；利用对立事件、互斥事件的意义判断BD作答.【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，有36个基本事件，它们等可能，对于A，事件“”的事件即为的事件，只有1个结果，则，A错误；对于B，的事件与的事件可以同时发生，因此事件“”与“”不对立，B错误；对于C，的事件，即的事件，只有1个结果，，C错误；对于D，当时，是奇数，因此事件“是偶数”与“”不可能同时发生，它们互斥，D正确.故选：D6．底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，根据圆锥底面周长与侧面弧长的关系建立方程，求得母线，由勾股定理求得高线，进而求得外接球半径，可得答案.【详解】由题意可作图如下：

设圆锥的母线长为，由题意可得，解得，则圆锥的高，圆锥外接球的半径设为，则，解得，故圆锥外接球的表面积.故选：A.7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为（

）A． B．12 C． D．9【答案】A【分析】先利用题给条件求得之间的关系，再利用均值定理即可求得的最小值.【详解】由可得，，即，则，则（当且仅当时等号成立）故选：A8．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解【详解】设正方体内切球的球心为，则,,因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，且最小为；所以，所以的取值范围为，故选：B二、多选题9．复数，（，），下列说法正确的是（

）A．若为实数，则 B．若为实数，则C．若为纯虚数，则 D．若为纯虚数，则【答案】BCD【分析】利用复数的乘除运算结合实数的意义判断AB；由共轭复数的意义、复数的乘除运算及纯虚数的意义判断CD作答.【详解】复数，（，），对于A，是实数，则，A错误；对于B，是实数，则，B正确；对于C，是纯虚数，则，此时，，即，C正确；对于D，是纯虚数，则，此时，，即，D正确.故选：BCD10．如图，在长方体中，点、分别是棱、上的动点（异于所在棱的端点）.则下列结论不正确的是（

）

A．在点运动的过程中，直线可能与平行B．直线与一定相交C．设直线、分别与平面相交于点、，则点可能在直线上D．设直线、分别与平面相交于点、，则点一定不在直线上【答案】BD【分析】取、分别为、的中点，证明出四边形为平行四边形，可判断A选项；取、异面，可判断B选项；取、分别为、的中点，证明出、、三点共线，可判断D选项.【详解】对于A选项，在长方体中，当点、分别为、的中点时，取线段的中点，连接、、，

因为且，又因为、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，同理可证四边形为平行四边形，则且，又因为且，故且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，所以，且，故四边形为平行四边形，则，A对；对于B选项，因为平面平面，平面，平面，则、平行或异面，当、异面时，则、、、可视为三棱锥的四个顶点，此时，与异面，B错；对于C选项，当点、分别为、的中点时，由勾股定理可得，对于CD选项，当点、分别为、的中点时，延长交直线于点，延长交直线于点，连接，如下图所示：

因为，则，又因为，，所以，，所以，，因为，则，即为的中点，同理可知，为的中点，因为，，，所以，，则，因为，则，所以，、、三点共线，故点可能在直线上，C对D错.故选：BD.11．根据流行病学的标准，某地在一段时间内没有发生大规模群体性感染的标志为“连续5天，每天新增疑似病例少于10人”.根据过去5天四地记录的数据，可以判定一定符合“没有发生大规模群体性感染”的地点为（

）A．甲地：平均数 B．乙地：平均数且极差C．丙地：众数为5且极差 D．丁地：平均数且标准差【答案】BC【分析】举特例否定选项AD；直接推理证得选项B判断正确；反证法证得选项C判断正确.【详解】选项A：若过去5天四地的数据为时，满足平均数.不满足“连续5天，每天新增疑似病例少于10人”.判断错误；选项B：由平均数且极差，可得数据最大值，数据中最大值不会超过10，判断正确；选项C：假设有一个数据，由众数为5可得极差，与极差矛盾，则假设不成立，没有数据.判断正确；选项D：过去5天四地的数据为时，平均数为3，满足,标准差为4，满足.不满足“连续5天，每天新增疑似病例少于10人”.判断错误.故选：BC12．不透明盒子中装有质地、大小完全相同的黄色、红色、白色小球各一个，现从中有放回地抽取三次，则下列事件概率小于的是（

）A．颜色相同 B．颜色不全相同 C．颜色全不相同 D．没有出现白球【答案】ACD【分析】利用独立事件的概率公式、以及对立事件的概率公式计算出每个选项中事件的概率，可得出合适的选项.【详解】由题意可知，从中任取一球，该球为黄色、红色、白色的概率均为.对于A选项，从中有放回地抽取三次，则事件“颜色相同”的概率为，A满足条件；对于B选项，从中有放回地抽取三次，事件“颜色不全相同”与事件“颜色相同”互为对立事件，故事件“颜色不全相同”的概率为，B不满足条件；对于C选项，若三球颜色均不相同，则三球的颜色可依次为：黄红白、黄白红、红黄白、红白黄、白黄红、白红黄，所以，事件“颜色全不相同”的概率为，C满足条件；对于D选项，事件“没有出现白球”意味着每次摸的都不是白球，故事件“没有出现白球”的概率为，D满足条件.故选：ACD.三、填空题13．在中，，，，设，，，那么.【答案】【分析】根据给定条件，利用向量的加法运算及数量积运算律、数量积的定义求解作答.【详解】在中，，，，则，而，所以.故答案为：14．揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，高约99米，可近似视为一个正四棱台，塔底宽约36米，塔顶宽约25米.据此估算揽月阁体积为立方米.【答案】93093【分析】利用棱台的体积公式计算作答.【详解】依题意，揽月阁近似视为一个正四棱台，其体积（立方米）.故答案为：9309315．若、是从集合中随机选取的两个不同的数，则使得函数是偶函数的概率为.【答案】/【分析】列举出所有的基本事件，并确定事件“函数是偶函数”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】对于幂函数而言，当为奇数时，函数为奇函数，当为偶数时，函数为偶函数，若、是从集合中随机选取的两个不同的数，以为一个基本事件，则所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，若函数是偶函数，则、均为偶数，则必为偶数，所以，事件“函数是偶函数”所包含的基本事件有：、、、、、、、，共种，故事件函数是偶函数”的概率为.故答案为：.16．在棱长为2的正方体中，点，分别为线段，上的动点，则的最小值为.【答案】/【分析】先求得点P到直线的距离的表达式，利用二次函数性质即可求得的最小值.【详解】在平面内过点P作于M，在平面内过点M作于Q，连接.在平面内，，则，则平面，又平面，则，又，，则平面，又平面，则，则为点P到直线的距离.设，则，则当且仅当时取得最小值.故答案为：四、解答题17．为响应商务部“2023消费提振年”、“百城联动”汽车节和“千县万镇”新能源汽车消费季活动，西安市相关部门为了解现有的新能源汽车充电设备的覆盖和使用情况，随机选取了100名新能源汽车车主进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（满分100）按照，，，分成5组，制成频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中x的值；(2)估计这组数据的众数、平均数和中位数.【答案】(1)(2)众数为，平均数为，中位数为【分析】（1）由频率分布直方图所有小长方形的面积和为1可得答案；（2）根据频率分布直方图估计这组数据的众数、平均数、中位数即可.【详解】（1）由频率分布直方图得，解得;（2）因为最高小长方形中点的横坐标为75，所以估计这组数据的众数为75.估计这组数据的平均数为，满意度评分值在内的频率为，满意度评分值在内的频率为，∴中位数为.18．已知两个不共线的向量，，(1)若与垂直，求；(2)存在3个不同的使得，求实数的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意，根据数量积的运算律求出，即可得到与反向，从而求出，（或根据数量积的坐标表示及辅助角公式求出）；（2）根据数量积的运算律得到，再结合正弦函数的性质，对分三种情况讨论，分别求出的取值范围，即可得到，解得即可.【详解】（1）∵与垂直，∴，∴，由题意，，∴， ∴，所以，又，所以，即与反向，∴，∴，（或由得，即，即，又，则，所以，解得，所以）.（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵

∴，当，，单调递增，且，当，，单调递减，且，当，，单调递增，且，所以，所以，由题意知，故.19．在中，边所对角分别为且满足.(1)求证：；(2)求的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用二倍角余弦公式和三角函数诱导公式对题给条件化简即可证得；（2）利用（1）的结论构造关于的不等式，解之即可求得的最大值.【详解】（1）∵，∴，∴，又在中，，∴（2）法一：由余弦定理可知，∴，即（当且仅当时等号成立），又，则为锐角，，则，解之得，故的最大值为.法二：设为外接圆半径，∵，∴，且，A为钝角由正弦定理可知∴∴，∴，且（当且仅当时等号成立.）故的最大值为.20．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，若比完5局未出现连胜两局者，则胜场较多者获胜.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立.(1)求恰好进行了4局结束比赛的概率；(2)求甲获胜的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）把恰好进行了4局结束比赛的事件分拆成甲获胜和乙获胜的两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率公式计算作答.（2）把甲获胜的事件分拆成比赛两局、三局、四局、五局的事件和，再利用相互独立事件求出各个事件的概率作答.【详解】（1）恰好进行了4局结束比赛的事件是甲获胜的事件与乙获胜的事件和，它们互斥，由甲获胜的事件知，甲依次是胜负胜胜，则甲获胜的概率；由乙获胜的事件知，乙依次是胜负胜胜，则乙获胜的概率；所以恰好进行了4局结束比赛的概率为.（2）甲获胜的情况有以下几种，它们彼此互斥，①比赛进行了2局，甲全胜，此时，②比赛进行了3局，甲依次负胜胜，此时，③比赛进行了4局，甲依次胜负胜胜，此时，④比赛进行了5局，甲依次负胜负胜胜，此时，或者比赛进行了5局，甲依次胜负胜负胜，此时，所以比赛最终甲获胜的概率为.21．如图所示，在三棱锥中，E为P在底面内的投影，且E为的垂心.(1)若F为C在平面内的投影，证明：；(2)当三棱锥为正三棱锥且，PC与平面所成角为时，求点C到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判断、性质推理作答.（2）由（1）中信息结合线面角求出正三棱锥的侧棱长和高，再利用等体积法求解作答.【详解】（1）依题意，平面，而平面，则，又点E为的垂心，即有，平面，，于是平面，而平面，因此，由F为C在平面内的投影，得平面，平面，则，又平面，，从而平面，因为平面，所以.（2）依题意，点C到平面的距离即为，与平面所成角即为，在正三角形中，，点E为中心，则，由（1）知，，于是，有，于是等腰边上的高，因此，，由，得，即，解得，所以点C到平面