第五章 概率及其分布

第五章概率及概率分布教育研究中所收集到的数据，除了描述样本分析结果外（描述统计），更重要的是利用这些数据的信息对总体的某种特征作出具有一定可靠程度的估计与推断（推断统计）。概率分布理论是处理这些数据变量的数学计基础，也是推论统计的基础。一、概率的定义1.后验概率（或统计概率）

随机事件的频率当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在一个常数P，这个常数就是随机事件A的概率。（5．2）（5．1）2.先验概率（古典概率）古典概率模型要求满足两个条件：⑴试验的所有可能结果是有限的；⑵每一种可能结果出现的可能性相等。（5．3）例：将一枚硬币抛3次，观察正（H）反面（T）出现的情况。那么所有可能的结果有8个，HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT，即n=8。如果一次正面朝上为事件A，那么事件A就包括三种可能的结果：HTT，THT，TTH，m=3，那么抛3次硬币恰好有1次正面朝上的概率就是P（A）=m/n=3/8。54张扑克，每张出现的可能性相等，因此每张出现的概率为1/54，如果我们将随机事件A规定为红桃，那么事件A就由13个基本事件组成，也就是m=13，n=54，这时红桃出现的概率为P（A）=13/54=0.241。

二．概率的基本性质1．任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间的正数，即0≤P（A）≤12．不可能事件的概率等于零，即P（A）=03．必然事件的概率等于1，即P（A）=1

三．概率的加法定理和乘法定理概率的加法定理若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生，这样的两个事件为互不相容事件。两互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和，即（5．4）（5．5）概率的乘法定理若事件Ａ发生不影响事件Ｂ是否发生，这样的两个事件为互相独立事件。两个互相独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积，即（5．6）（5．7）例1：某一学生从５个试题中任意抽取一题，进行口试。如果抽到每一题的概率为1／5，则抽到试题１或试题２的概率是多少？如果前一个学生把抽过的试题还回后，后一个学生再抽，则４个学生都抽到试题1的概率是多少？

计算抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和，即四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第一题，其概率应为抽到第一题的概率的乘积，即例2：从30个白球和20个黑球共50个球中随机抽取两次（放回抽样），问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少？抽出一个白球的概率为3／5,抽出一个黑球的概率为2／5。抽出一个黑球和一个白球的情况应包括先抽出一个黑球、后抽出一个白球和先抽出一个白球、后抽出一个黑球两种情况。因此：四．二项分布二项分布（bionimaldistribution）是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布，它是由贝努里创始的，因此又称为贝努里分布。1．二项试验满足以下条件的试验称为二项试验：一次试验只有两种可能的结果，即成功和失败；各次试验相互独立，即各次试验之间互不影响；各次试验中成功的概率相等，失败的概率也相等。2．二项分布函数二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。用n次方的二项展开式来表达在n次二项试验中成功事件出现的不同次数（X＝0，1…）的概率分布，叫做二项分布。二项展开式的通式（即二项分布函数）：这个公式可以用来直接求出成功事件恰好X次的概率。二项展开式的要点：项数：二项展开式中共有n＋1项。方次：p的方次，从0

→n为升幂；q的方次从0→n为降幂。每项p与q方次之和等于n。系数：各项系数是成功事件次数的组合数。例３：从男生占２/５的学校中随机抽取６个学生，问正好抽到４个男生的概率是多少？最多抽到２个男生的概率是多少？解：将n=6，p=2/5，q=3/5，X=4代入（5．8）式，则恰好抽到4个男生的概率为最多抽到２个男生的概率，等于１个也没有抽到、抽到１个和抽到两个男生的概率之和，即3．二项分布图以成功事件出现的次数为横坐标，以成功事件出现不同次数的概率为纵坐标，绘制直方图或多边图，即为二