第3章-机器人运动学

机器人学基础国家级《智能科学基础系列课程教学团队》“机器人学”课程配套教材蔡自兴主编中南大学20092第三章机器人运动学A矩阵：一个描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换。T矩阵：A矩阵的乘积。对于六连杆机械手，有下列T矩阵：

一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。

3.1机器人运动方程的表示机器人学基础33.1机器人运动方程的表示3.1.1运动姿态和方向角机械手的运动方向原点由矢量p表示。接近矢量a：z向矢量方向矢量o：y向矢量法线矢量n：它与矢量

o和a一起构成一个右手

矢量集合，并由矢量的交乘所规定：n=o

a。第三章机器人运动学43.1.1运动姿态和方向角因此，变换T6具有下列元素。

六连杆机械手的T矩阵（T6）可由指定其16个元素的数值来决定。在这16个元素中，只有12个元素具有实际含义。

3.1机器人运动方向的表示53.1.1运动姿态和方向角用旋转序列表示运动姿态机械手的运动姿态往往由

一个绕轴x，y和z的旋转

序列来规定。这种转角的

序列，称为欧拉（Euler）

角。欧拉角用一个绕z轴

旋转ф角，再绕新的y轴

旋转θ角，最后绕新z的

轴旋转ψ角来描述任何可

能的姿态，见图3.2。在任何旋转序列下，旋转次序是十分重要的。

3.1机器人运动方向的表示63.1.1运动姿态和方向角用横滚、俯仰和偏转角表示运动姿态另一种常用的旋转集合是横滚（roll）、俯仰（pitch）和偏转（yaw）。

3.1机器人运动方向的表示73.1.1运动姿态和方向角对于旋转次序，规定：式中，RPY表示横滚、俯仰和偏转三旋转的组合变换。也就是说，先绕x轴旋转角ψ，再绕y轴旋转角θ，最后绕z轴旋角ф。

3.1机器人运动方向的表示83.1机器人运动方程的表示3.1.2运动位置和坐标一旦机械手的运动姿态由某个姿态变换规定之后，它在基系中的位置就能够由左乘一个对应于矢量p的平移变换来确定：第三章机器人运动学93.1.2运动位置和坐标用柱面坐标表示运动位置用柱面坐标来表示机械手手臂的位置，即表示其平移变换。如图3.4(a)所示，

3.1机器人运动方向的表示103.1.2运动位置和坐标用球面坐标表示运动位置用球面坐标表示手臂运动位置矢量的方法。这个方法对应于沿轴平移，再绕轴旋转角，最后绕轴旋转角，如图3.4(b)所示，即为：

式中，Sph表示球面坐标组合变换。

3.1机器人运动方向的表示113.1机器人运动方程的表示3.1.3连杆变换矩阵及其乘积

广义连杆

相邻坐标系间及其相应连杆可以用齐次变换矩阵来表示。要求出操作手所需要的变换矩阵，每个连杆都要用广义连杆来描述。在求得相应的广义变换矩阵之后，可对其加以修正，以适合每个具体的连杆。第三章机器人运动学123.1.3连杆变换矩阵及其乘积机器人机械手是由一系列连接在一起的连杆（杆件）构成的。需要用两个参数来描述一个连杆，即公共法线距离所在平面内两轴的夹角；需要另外两个参数来表示相邻两杆的关系，即两连杆的相对位置和两连杆法线的夹角，如图3.5所示。

3.1机器人运动方向的表示133.1.3连杆变换矩阵及其乘积机器人机械手上坐标系的配置取决于机械手连杆连接的类型。有两种连接——转动关节和棱柱联轴节。现在来考虑棱柱联轴节（平动关节）的情况。图3.6示出其特征参数。

3.1机器人运动方向的表示143.1.3连杆变换矩阵及其乘积广义变换矩阵

按照下列顺序建立相邻两连杆之间的相对关系。绕轴旋转角，使

轴转到与同一平面内。

沿轴平移一距离，把移到与同一直线上。沿轴平移一距离，把连杆的坐标系移到使其原点与连杆的坐标系原点重合的地方。绕

同一直线上。

3.1机器人运动方向的表示153.1.3连杆变换矩阵及其乘积用A矩阵表示T矩阵机械手的末端装置即为连杆6的坐标系，它与连杆坐标系的关系可由表示为：可得连杆变换通式为：

3.1机器人运动方向的表示163.1.3连杆变换矩阵及其乘积如果机械手与参考坐标系的相对关系是由变换来表示的，而且机械手与其端部工具的关系由变换表示，那么此工具端部对参考坐标系的位置和方向可由变换表示如下：可求得：

3.1机器人运动方向的表示173.2机器人运动方程的表示3.2.1欧拉变换解基本隐式方程的解

令由式(3.4)和(3.23)得到：第三章机器人运动学183.2.1欧拉变换解得到9个隐式方程，如下：3.2机械手运动方程的求解193.2.1欧拉变换解用双变量反正切函数确定角度在求解时，总是采用双变量反正切函数atan2来确定角度。atan2提供二个自变量，即纵坐标和横坐标，见图3.8。当-π≤θ≤π，由atan2反求角度时，同时检查y和x的符号来确定其所在象限。这一

函数也能检验什么时候x或y为0，并反求出正确的角度。atan2的精确程度对其整个定义域都是一样的。

3.2机械手运动方程的求解203.2.1欧拉变换解用显式方程求各角度

要求得方程式的解，采用另一种通常能够导致显式解答的方法。用未知逆变换依次左乘已知方程，对于欧拉变换有：

式(3.37)的左式为已知变换的函数，而右式各元素或者为0，或者为常数。

3.2机械手运动方程的求解21求解方程，整理之后确定其等价欧拉角：如果已知一个表示任意旋转的齐次变换，那么就能够确定其等价欧拉角。3.2.1欧拉变换解3.2机械手运动方程的求解223.2.2滚、仰、偏变换解直接从显式方程来求解用滚动、俯仰和偏转表示的变换方程。

RPY变换各角如下：3.2机械手运动方程的求解233.2.3球面变换解把求解滚、仰和偏变换方程的技术用于球面坐标表示的运动方程。

球面变换的解为：3.2机械手运动方程的求解