2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破考点15任意角三角函数与弧度制

2021届高考数学艺术生短期集训专题知识打破：考点15随意角的三角函数与弧度制2021届高考数学艺术生短期集训专题知识打破：考点15随意角的三角函数与弧度制2021届高考数学艺术生短期集训专题知识打破：考点15随意角的三角函数与弧度制考点十五随意角的三角函数与弧度制知识梳理1．角的观点随意角：①角的定义：角能够当作平面内一条射线绕着端点从一个地点旋转到另一个地点所成的图形．旋转开始的射线叫做角的始边，旋转停止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的极点；②角的分类：依据逆时针方向旋转形成的角叫做正角；依据逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；假如一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．全部与角α终边同样的角，连同角α在内，组成的角的会合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．注意：终边同样的角不必定相等，终边同样的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(3)象限角与轴线角：使角的极点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；假如角的终边在座标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为轴线角．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这类用弧度作单位来胸怀角的单位制叫做弧度制．弧度的单位符号是“rad〞，读作“弧度〞〔用弧度制表示角时，rad经常省略不写〕．假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l.正角的弧r度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：πrad，1rad＝180°.180°＝πrad,1＝°π180112(3)扇形的弧长公式：l＝|α|r·，扇形的面积公式：S＝2lr＝2|α|r·.3．随意角的三角函数〔1〕单位圆定义：随意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)时，sinα＝v，cosα＝μ，tanαv(x≠0)．μy〔2〕比值式定义：设P(x，y)是角α终边上随意一点，且|OP|＝r(r＞0)，那么sinα＝r，cosαxy＝，tanα＝.它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.rx注意：三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx，但假定不是单位圆时，设|OP|＝r，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝y.rrx〔3〕三角函数值在各象限的符号：记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦〞，即第一象限三个三角函数都是正当，第二象限正弦值为正，其他两个为负值；第三象限正切值为正，其他两个为负值；第四象限余弦值为正当.4．三角函数线如以下列图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作圆的切线与α的终边或终边的反向延伸线订交于点角α的正弦线，余弦线和正切线．

PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位T．那么有向线段MP，OM，AT分别叫做注意：①三角函数线能够看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)；②三角函数线是有向线段．典例分析题型一终边同样角的表示例1在－720°～0°范围内全部与45°终边同样的角为________．答案－675°或－315°分析全部与45°有同样终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，那么令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－765360≤k<－36045，进而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.变式训练1终边在直线y＝3x上的角的会合为________．π答案∵在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是3，∴终边在直线y＝3x上的角的会合为π{α|α＝＋kπ，k∈Z}．3变式训练2α角α为第三象限角，判断2为第几象限角？3π分析∵π＋2kπ<α<2＋2kπ(k∈Z)，πα∴＋kπ<<22

3π＋kπ(k∈Z)．4πα3π2nπ，当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ<＋22<4当k＝2n＋1(n∈Z)时，3πα7π＋2nπ<＋2nπ，22<4α∴为第二或第四象限角．2解题重点(1)利用终边同样的角的会合能够求合适某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边同样的全部角的会合，而后经过对会合中的参数k赋值来求得所需的角．利用终边同样的角的会合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只要把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，而后判断角α的象限．题型二三角函数的定义2角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cosθ＝－135，那么sinθ＝_______，tanθ＝_______．答案－1212135－x55－61212分析cosθ＝x2＝－13，解得x＝2，故sinθ＝52＝－13，tanθ＝5.＋36－2＋〔－6〕2变式训练角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－4，那么m的值为________.5答案12分析∵r＝64m2＋9，∴cosα＝－8m＝－4，64m2＋95211∴m>0，∴4m＝，即m＝.64m2＋9252解题重点利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，应先需确立三个量：角的终边上随意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.而后依据三角函数定义x、y的符号来确立各象限内三角函数的符号．题型三三角函数值的符号判断3假定tanα>0，那么________.(填序号)①sinα>0②cosα>0③sin2α>0cos2α>0答案③分析清除法，取α=π3，知足tanα>0，但cos2α<0，否定④；π∵tanα＞0，∴α∈kπ，kπ＋2(k∈Z)是第一、三象限角．∴sinα，cosα都可正、可负.应选③．变式训练假定sinαtanα<0，且cosα<0，那么角α是第________象限角tanα答案三分析由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，进而角α为第二或第三象限角．cosα由<0可知cosα，tanα异号，进而角α为第三或第四象限角，故角α为第三象限角．tanα解题重点熟记三角函数在各象限内符号是解题的重点，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦〞．题型四扇形面积公式与弧度制例4一扇形的圆心角为α＝60°，所在圆的半径为R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积.分析ππ10π(cm)，设弧长为l，弓形面积为S弓，那么α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝333110π1π50503π3S弓扇△××10－×102×sin＝π－＝503－2＝S－S＝2323322(cm)．变式训练扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．2r＋rθ＝10，r＝4，r＝1，分析设圆心角是θ，半径是r，那么1解得或21(舍去)．2θ·r＝4，θ＝2，θ＝8，∴扇形的圆心角为12.解题重点使用扇形的弧长公式：l＝|α|r·，扇形的面积公式：S＝112时，应把角度2lr＝2|α|r·化为弧度制，而后再利用公式求解．当堂练习1．与－525°的终边同样的角可表示为________.(填序号)答案195°＋k·360°(k∈Z)分析－525°＝195°－2·360°，α＝195°＋k·360°(k∈Z).π2，那么tanα＝________.2．角α∈(－，0)，cosα＝23答案－52分析π225sinα5.∵α∈(－，0)，cosα＝3，∴sinα＝－1－cosα＝－，∴tanα＝＝－223cosα3.cosθ·tanθ<0，那么角θ所在的象限是__________________.答案第三或第四象限角分析易知sinθ<0，且cosθ≠0，∴θ是第三或第四象限角.4．以下三角函数值的符号判断错误的选项是________.(填序号)①sin160°>0②cos290°>0③tan170°>0④tan300°<0答案③分析∵170°为第二象限角，∴tan170°<0.5．角－870°的终边所在的象限是________.答案第三象限分析由－870°＝－1080°＋210°，知－870°角和210°角终边同样，在第三象限．课后作业一、填空题3，且角α的终边经过点P(x，2)，那么P点的横坐标x是________.1．假定cosα＝－2答案－23分析r＝x2＋22，由题意得x＝－3，∴x＝－23.222x＋22．假定α是第三象限角，那么以下各式中不建立的是________.(填序号)①sinα＋cosα<0②tanα－sinα<0③cosα－tanα<0④tanαsinα<0答案②分析在第三象限，sinα<0，cosα<0，tanα>0，那么可清除①、③、④，应选②.3．角θ的极点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，那么cos2θ＝________.3答案－5分析取终边上一点(a，2a)，a≠0，依据随意角的三角函数定义，由tanθ＝2，可得cosθ＝±5，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－3.554．将－300°化为弧度为________.答案－53π分析－300×π＝－5π.18035．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数为________.答案3分析由题意可知圆内接正三角形的边长为3R，那么圆心角的弧度数为3R＝3.R26．α是第二象限角，其终边上一点P(x，5)，且cosα＝4x，那么sinα等于________.答案104分析由三角函数的定义可知cosα＝2x，由于α是第二象限角，因此x＜0，解4x＝2x＋5得x＝－3.因此cosα＝－6，，因此sinα＝1044.7．角α的终边经过点(－4，3)，那么cosα＝________.答案－45分析依据题意，cosα＝－4422＝－.5〔－4〕＋38．假定一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，那么扇形的面积为________.答案280πcm分析∵72°＝2π1212π22，∴S扇形＝2αr＝××20＝80π(cm)．5259．角α的极点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m，3m)(m>0)是α终边上一点，那么2sinα＋cosα＝________.答案25分析∵|OP|＝－4m2＋3m2＝5|m|＝5m(m>0)，3m3－4m4∴sinα＝＝，cosα＝＝－.5m55m52sinα＋cosα＝2×35－45＝25.10．假定角α的终边经过点P(1,2)，那么sin2α的值是________．答案45分析∵sinα＝2，cosα＝1，∴sin2α＝2×2×1＝4.5555511．角θ的极点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．假定P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－25，那么y＝________.5答案－8分析由于r＝x2＋y2＝16＋y2，且sinθ＝－25，因此sinθ＝y＝y2＝－25，所5r16＋y5以θ为第四象限角，解得y＝－8.二、解答题212．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，－5)，且cosα＝