概率论与数理统计课件5

第六讲随机变量及其分布

一、随机变量概念的产生

在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.

例如，掷一颗骰子面上出现的点数；

七月份济南的最高温度；每天从济南下火车的人数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.

这种对应关系在数学上理解为定义了一种取值为实数的函数（实值函数）..RX(

)

称定义在样本空间上取值为实数的函数称为随量机变简记为r.v.（RandomVariable）

而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z表示例

抛掷一枚硬币可能出现的两个结果,可以用一个变量来描述.

注：让样本点与实数对应，赋予随机变量一定的实际含义即可。例题举例二、随机变量的分类

重点介绍两类：

如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举（有限或可列）例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值无穷多，充满一个或几个区间.

这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.学习时请注意它们各自的特点和描述方法.

有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.

三、引入随机变量的意义

如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.

事件:{收到不少于1次呼叫}{X1}{没有收到呼叫}{X=0}

例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.

我们可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.

如

{X>1.7};{X≤1.5}{1.5<X<1.7}以上均为事件，并可求其概率总结：可以用随机变量r.v.的取值（等式或不等式）表示随机事件------以上均称由r.v.X生成的事件引入随机变量后，为研究随机现象的统计规律，需要计算由X生成的各类随机事件对应的概率。由此引入随机变量的分布函数最具代表性的：

———|——>x一、定义：设

X

是一个r.v，称为X

的分布函数.记作X～

F(x)

或FX(x).

如果将X

看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间的概率.1、分布函数用来计算事件的概率；2、定义在R上，取值为[0,1]的函数，3、利用分布函数，可以求X所生成的任意事件的概率。三、分布函数的性质(1)F(x)

非降，即若x1<x2，则F(x1)F(x2);(2)F()=F(x)=0

(3)F(x)

右连续，即

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX

的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.F()=F(x)=1试说明F(x)能否是某个r.v

的分布函数.例

设有函数F(x)解：

注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.例6练习3以下首先介绍离散型随机变量及其概率分布d.r.v.

设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x1,x2,….

为了描述随机变量X

，我们不仅需要知道随机变量X的所有可能取值，而且还应知道X取每个值的概率.

这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为例1其中概率分布(i=1,2,…)满足：

i=1,2,…（1）（2）

定义1：设xi(i=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型r.v.X的概率函数或概率分布.反之，用这两条性质判断一个函数是否是概率函数一、离散型r.v.概率