糖尿病的诊断

§6.1糖尿病的诊断

一.背景和问题1.糖尿病（Diabetes）：

胰岛素相对或绝对不足引起的以糖代谢紊乱，血糖增高为主的慢性疾病。

10.症状：早期无症状；晚期多尿、多饮，酮症及体重迅速下降等临床表现，化验结果血糖、尿糖指标增高。

20.危害：易并发感染心脏病、肾病、视网膜病变，引起心肌梗死、中风、肾功能衰竭、白内障失明等后果。

30.血糖调节系统

血糖（BloodGlucose）：血液中的葡萄糖，为肌体的重要能源来源，安静、空腹时正常含量70~100mg/100ml。持续血糖过高或过低为病态。

血糖的调节：在激素（Hormones）及其代谢物质的影响和控制下的自调节的过程：

胰岛素（Insulin）：胰脏β细胞分泌的蛋白质激素。血糖（BG）增高时刺激分泌胰岛素促进糖的吸收，并将多余的糖变成糖原(Glycogen)存储于肝脏中。

高血糖素（Glucagon）：胰脏α细胞分泌的蛋白质激素。血糖降低时刺激其分泌，抑制肌体对糖的吸收，并增加糖原转化为G的速度。

肾上腺素（Epinephrin）肾上腺髓质分泌的激素。属于应急机制的一部分。当BG极低时，加快糖原转化成葡萄糖的速度，抑制分泌胰岛素和细胞吸收葡萄糖，以便很快增加血液中葡萄糖的浓度。其它：糖皮质素、甲状腺素、生长激素等。

40.致病机理：人体自身不能提供足够的胰岛素以消耗体内多余的糖分，致使血糖增高而无法控制。50.诊断：饭后2小时，正常浓度70~100mg/100ml。静脉血浆糖≥200mg/dl(11.1mmol/L)诊断为糖尿病。GTT（GlucoseToleranceTest）：空腹测血糖G0；口服75克的葡萄糖，于0.5、1、2、3小时测血糖，描出血糖动态曲线。比较血糖曲线与标准的偏差。

2.问题：如何通过血糖曲线的分析给出一个可靠的解释GTT检验结果的标准。二.模型1.假设：10.只考虑血糖浓度G和以胰岛素为代表的激素H的相互作用。20.没有外界摄入时，人体内有一个平衡状态G0、H0。30.只考虑在平衡状态G0、H0附近的小偏差。

2.简化的血糖调节系统葡萄糖摄入血糖激素组织吸收激素代谢肝脏内分泌

3.简化调节机制

血糖增高激素增加内分泌血糖降低组织吸收肝脏储存血糖降低激素减少血糖增高内分泌肝脏释放组织拒绝

4.建模设G(t),H(t)分别表示t时刻血糖与激素的浓度。则有增加率的平衡其中，F1(G,H)，F2(G,H)分别表示血糖浓度的变化和激素浓度的变化与G、H的关系,J(t)为t时葡萄糖的外界摄入。存在G0,,H0有F1(G0,H0)=0和F2(G0,H0)=0。

令g(t)=G(t)-G0,h(t)=H(t)-H0.则g(t),h(t)充分小,且有将F1,F2在(G0,H0)附近展开并略去高阶无穷小,可得令

有我们取t=0为外部输入的G完全被吸收的时刻则有J(t)≡0,t>0,且g(0)=J(0).消去方程组中的变量h(t),可以得到其中三.求解

由于血糖曲线应该成阻尼振荡形式,因此可知有这时特征方程有一对共轭复根,记为微分方程的解为其中C1,C2为任意常数。整理后可得最后有是一条以G0为平衡态的阻尼振荡曲线，与血糖曲线形状相近。

四.分析1.参数估计10.G0可直接观测。20.其余的四个参数可以由四个不同时刻（如ti=0.5,1,2,3时）的血糖观测值通过求解非线性方程组得到。30.如果有n个时刻(n>4)的BG观测值时可以使用非线性最小二乘法的出这四个参数的估计值。eqns:={8.06=4.5+A*exp(-a*0.5)*cos(w*0.5-b),6.7=4.5+A*exp(-a)*cos(w-b),3.91=4.5+A*exp(-a*2)*cos(w*2-b),4.47=4.5+A*exp(-a*3)*cos(w*3-b)};

eqns:={8.06=4.5+Aexp(-.5a)cos(-.5w+b),6.7=4.5+Aexp(-a)cos(-w+b),3.91=4.5+Aexp(-2a)cos(-2w+b),4.47=4.5+Aexp(-3a)cos(-3w+b)}>

vars:={A,a,w,b};

vars:={a,b,A,w}

>solve(eqns,vars);{w=-2.811151237,a=.6293589754-6.283185307I,b=-.6078588509,A=-6.983046177},{w=-2.811151237,A=6.983046177,b=2.533733803,a=.6293589754-6.283185307I},{b=.6078588509,w=2.811151237,a=.6293589754-6.283185307I,A=-6.983046177},{b=-2.533733803,w=2.811151237,A=6.983046177,a=.6293589754-6.283185307I},……

{b=-2.533733803,A=6.983046177,w=-3.472034071,a=.6293589754},{b=-.6078588509,A=-6.983046177,w=3.472034071,a=.6293589754},{A=7.899541138,b=1.656096360,w=2.078207263,a=1.186479981}plot(4.5+7.8995*exp(-1.1865*t)*cos(2.0782*t-1.6561),t=0,...,3);

2.参数的灵敏度模型y=f(x;a),其中a是参数.若存在M1>0,使得|S(y,a)|<M1,则称模型y在水平M1下关于参数a是不灵敏的。若存在M2>0,使得|S(a,y