2023-2024学年北师大版必修第二册 正弦定理 课件（74张）

二、正弦定理必备知识·自主学习1.正弦定理(1)文字叙述:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.(2)符号表示:导思1.正弦定理的内容是什么?2.正弦定理能解决哪些问题?【说明】正弦定理的理解:(1)适用范围:任意三角形.(2)结构特征:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦.(3)主要作用:正弦定理的主要作用是实现三角形边角关系的互化及解决三角形外接圆问题.2.正弦定理的变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(边化角).(2)sinA=,sinB=,sinC=(角化边).(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC(边角互化).(4)【思考】在△ABC中,若已知a>b,如何利用正弦定理得到sinA>sinB?提示:由a>b,且a=2RsinA,b=2RsinB,可得2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)正弦定理仅对直角三角形成立. (

)(2)在△ABC中,若sinA=,则A=. (

)(3)在△ABC中,若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形. (

)提示:(1)×.正弦定理对任意三角形都成立.(2)×.A=时sinA=也成立.(3)×.由sin2A=sin2B,可得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,即△ABC为等腰三角形或直角三角形.2.在△ABC中,a=,b=1,∠A=,则∠B= (

)【解析】选D.由正弦定理可得sinB=由b<a可得∠B<∠A,所以∠B=3.(教材二次开发:例题改编)探险队为了测定帐篷A到山峰B的距离,在帐篷旁边选定100米长的基线AC,并测得∠C=105°,∠B=15°,则A,B两点间的距离为________.

【解析】由正弦定理得所以AB=即A,B两点间的距离为100(2+)米.答案:100(2+)米关键能力·合作学习类型一利用正弦定理求解三角形的边与角(逻辑推理)【题组训练】1.在△ABC中,A=60°,a=,b=,则B= (

)

A.45°或135° B.45°C.135° D.以上答案都不对2.在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c.若则cosB= (

)3.在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,求边b.【解析】1.选B.根据正弦定理即故sinB=,由题知b<a,故∠B<∠C,故∠B=45°.2.选B.由可得所以tanB=,又0<B<π,所以cosB=.3.因为所以sinC=因为0°<C<180°,所以C=60°或120°.当C=60°时,B=75°,当C=120°时,B=15°,所以b=+1或-1.【解题策略】1.正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边,求其他两边和其余一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其余两角.2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;(2)如果已知的角为大边所对的角,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角;(3)如果已知的角为小边所对的角,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦定理可求得两个角,要分类讨论.【补偿训练】设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C= (

)

【解析】选B.因为3sinA=5sinB,由正弦定理可得3a=5b即a=b;因为b+c=2a,所以c=b,所以cosC=而C∈(0,π),所以C=.类型二三角形形状的判断(数学运算)【典例】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且试判断△ABC的形状.【思路导引】根据正弦定理的变形,先将已知式中的边转化为角,再化简,进行判断.【解析】由正弦定理=2R(R为△ABC外接圆的半径),得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入

可得所以tanA=tanB=1.又因为角A,B,C是△ABC的内角,所以A=B=45°,从而C=90°,故△ABC是等腰直角三角形.【解题策略】三角形形状的判断1.判断三角形的形状,是指根据已知条件,确定三角形中是否有两边(两角)相等、三边(三角)相等或是否有直角等,从而判断三角形是不是等腰三角形、等边三角形或直角三角形等.2.利用正弦定理判断三角形形状的基本思路是:从已知条件出发,利用正弦定理进行代换、转化、化简、运算,找出边与边的关系,角与角的关系,或求出角的大小,从而作出正确判断.【跟踪训练】在△ABC中,若则△ABC是(

)

A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选B.由正弦定理可得即tanA=tanB=tanC,因为0<A<π,0<B<π,0<C<π,所以A=B=C,所以△ABC是等边三角形.类型三三角形的面积与外接圆问题(逻辑推理)

角度1三角形面积

【典例】已知在△ABC中边a,b,c的对角分别为A,B,C,且则△ABC的面积S=________.

【思路导引】可依据题设条件求出B的值,再利用面积公式求解.【解析】由正弦定理知sinA=由a<c,得A<C,所以A∈所以A=,所以B=π-A-C=,所以S=acsinB=答案:

角度2三角形外接圆

【典例】在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且a=1,4S=b2+c2-1,则△ABC外接圆的面积为 (

)【思路导引】由余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA,结合范围可求出A的值,由正弦定理可求出外接圆半径,进而求出圆的面积.【解析】选A.由余弦定理可得:2bccosA=b2+c2-a2=b2+c2-1,又因为S=bcsinA,可得4S=2bcsinA,因为4S=b2+c2-1,可得:2bccosA=2bcsinA,即tanA=1,因为A∈(0，π),所以A=,设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得:=2R,即=2R,得R=,所以△ABC外接圆的面积S=πR2=.【变式探究】在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆面积为 (

)A. B.π C.2π D.4π【解析】选B.在△ABC中,A=75°,B=45°,所以C=180°-A-B=60°.设△ABC外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=,解得R=1,故△ABC的外接圆面积S=πR2=π.【解题策略】1.利用正弦定理求三角形面积的步骤(1)依据已知条件,先确定应该求出哪个量;(2)选择相应的边及相应的角,利用正弦定理求出所需要的量;(3)利用面积公式求解.2.三角形外接圆的求解三角形外接圆的求解关键是正确求出其半径,常常要借助公式=2R(其中R为三角形外接圆的半径),即可快速求出.【题组训练】1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为 (

)【解析】选C.根据三角形面积公式得×1×csin45°=2,得c=4,则b2=a2+c2-2accosB=25,即b=5,所以△ABC外接圆的直径为2R=2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 (

)【解析】选B.根据正弦定理解得c=2,由题知A=,且所以S△ABC=bcsinA=+1.【补偿训练】在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=,则△ABC的外接圆半径为(

)

A.B.2C.2D.4【解析】选C.S==×2csin120°,解得c=2,所以a2=22+22-2×2×2cos120°=12,解得a=2,所以2R==4,解得R=2.1.在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,则△ABC外接圆半径为 (

)

A.30B.20C.15D.15【解析】选D.因为在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,由正弦定理得=2R,即=2R,解得R=15.课堂检测·素养达标2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cosA=,a=,则=(

)【解析】选D.由cosA=,得sinA=,故

3.(教材二次开发:习题改编)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2,B=45°,若三角形有两解,则a的取值范围是 (

)A.a>2 B.0<a<2C.2<a<2 D.2<a<2【解析】选C.根据正弦定理

故sinA=,因为三角形有两解,故

<sinA=<1,解得2<a<2.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=2,b=4,A=120°,则△ABC的面积为________.

【解析】因为a=2,b=4,A=120°,c>0,又cosA=所以cos120°=解得c=2,所以S△ABC=bcsinA=×4×2sin120°=2.答案:25.锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2bsinA.(1)求角B的大小;(2)若a+c=13,△ABC的面积为10,求b.【解析】(1)由题设及正弦定理得sinA=2sinBsinA,因为sinA>0,所以sinB=,又0<B<,所以B=.(2)因为△ABC的面积为10,所以acsinB=10.又因为B=,所以ac=40,由余弦定理得b=所以b=二十三正弦定理【基础通关—水平一】

(15分钟30分)1.在△ABC中,已知a=8,∠B=30°,b=4,则c=(

)课时素养评价【解析】选D.由正弦定理,可得即sinA=因为0°<A<180°,所以∠A=90°,由勾股定理可得c=【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=6,c=2,A=120°,则角C= (

)

A.30°或150°

B.30°

C.45°

D.60°【解析】选B.由正弦定理得sinC=又因为a>c,所以A>C,即0°<C<90°,所以C=30°.2.在△ABC中,若2a=b+c,sin2A=sinB·sinC,则△ABC一定是 (

)A.钝角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.非等腰三角形【解析】选B.由正弦定理得,a2=bc,由a=,得=bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c,因为a=,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形.3.在△ABC中,若a=2,A=30°,则的值为(

)A.4B.2C.4D.2【解析】选A.由题可知,a=2,A=30°,4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b=12,A=60°,B=45°,则a=

.

【解析】在△ABC中,因为A=60°,B=45°,由正弦定理可得解得b=a,又因为a+b=12,即a+a=12,解得a=36-12.答案:36-125.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(a+b,sinC),n=(a+c,sinB-sinA),若m∥n,则角B的大小为

.

【解析】因为m∥n,所以(a+b)(sinB-sinA)-sinC(a+c)=0,由正弦定理化简得(a+b)(b-a)-c(a+c)=0,整理得a2+c2-b2=-ac,所以cosB=-,因为0<B<π,所以B=.答案:

6.已知在△ABC中,A=,a=13,c=15.(1)求sinC;(2)若△ABC是钝角三角形,求△ABC的面积.【解析】(1)在△ABC中,根据正弦定理得所以sinC=(2)因为a2=b2+c2-2bccosA,所以132=b2+152-2×b×15×.解得b=8或b=7.当b=7时,cosC=<0,所以C为钝角,所以△ABC的面积S=bcsinA=,当b=8时,cosC=>0.此时C为锐角,不满足题意,所以△ABC的面积为.【能力进阶—水平二】(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知△ABC中,A=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈(

)【解析】选C.由题中已知△ABC中A=45°,a=1,则c边上的高线长可表示为bsin45°=b,因为三角形形状唯一,所以△ABC为直角三角形或钝角三角形,则a=b或a≥b>0,所以b=a=或0<b≤1.2.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asinB=b,则角A等于

(

)【解析】选A.因为2asinB=b,由正弦定理可得:2sinAsinB=sinB,又sinB≠0,所以sinA=

.因为△ABC为锐角三角形,所以A=.3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则角A为 (

)A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选A.因为sinC=2sinB,所以c=2b,结合a2-b2=bc,可得a2=7b2,所以cosA=因为0°<A<180°,所以A=30°.4.在△ABC中,lg(sinA+sinC)=2lgsinB-lg(sinC-sinA),则△ABC的形状为(

)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】选B.因为lg(sinA+sinC)=

,所以sin2C-sin2A=sin2B,结合正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形.【误区警示】本题容易因对数运算公式遗忘从而造成计算出错.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60°,b=2,c=+1,则下列说法正确的是 (

)A.C=75°或C=105°

B.B=45°C.a= D.该三角形面积为【解析】选BC.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=4+4+2-2×2×(+1)×=6,所以a=.由正弦定理所以sinB=由于0°<B<120°,所以B=45°,C=180°-A-B=75°.△ABC的面积S=bcsinA=×2×(+1)×=.6.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,∠C=45°,c=,a=x,若满足条件的三角形有两个,则x的值可能为 (

)A.1

B.1.5

C.1.8

D.2【解析】选BC.在△ABC中,由∠C=45°,c=,a=x,则asinC=xsin45°=x,要使得三角形有两个,则满足x<c<x,即x<<x,解得<x<2,即x的取值范围是(

，2),结合选项BC正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=,=-2,且满足sinA+sinC=2sinB,则该三角形的外接圆的半径R为

.

【解题指南】根据向量的数量积的运算,求得ac=4,由正弦定理和余弦定理,列出方程求得a+c=4,进而得到b=2,再利用正弦定理,即可求解球的半径.【解析】由题意,因为=accos(π-B)=-ac=-2,所以ac=4.由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,又因为sinA+sinC=2sinB,所以a+c=2b,所以=(a+c)2-3ac,所以=12,所以(a+c)2=16,所以a+c=4,所以b=2,所以2R=所以R=.答案:

8.已知点O是△ABC的外接圆的圆心,AB=3,AC=2,∠BAC=,则外接圆