-74特殊角的三角函数由三角函数值求锐角

7.3-7.4特殊角的三角函数、由三角函数值求锐角【推本溯源】根据三角形的三边比例求出30°、45°、60°的三角函数值我们在初二上学期轴对称图形的时候，结合30°对应的直角边等于斜边的一半，可以得出来最短的直角边与斜边的比例为1：2，学习了勾股定理之后知道了三边的平方为1+3=4，而三边长比例表示到了实数的时候才可以表示出.同理可知，等腰直角三角形的比例为.因此可以根据三角函数的边比例得出下列各角的三角函数值30°30°45°60°sinαcosαtanα1【解惑】例1：已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A度数为（

）A．30° B．45° C．60° D．30°或60°【答案】C【分析】根据特殊角的正切值求解．【详解】解：∵tan60°=，∴由已知可得：∠A=60°，故选C．【点睛】本题考查锐角三角函数的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.例2：的值等于(

)A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据进行计算即可得出答案．【详解】解：．故选A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．例3：在中，，若，则的度数是．【答案】/60度【分析】根据特殊角的三角函数，，确定，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．例4：计算：【答案】【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值例5：计算：．【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值，有理数的乘方，化简绝对值，二次根式的性质，进行计算即可求解．【详解】解：．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．【摩拳擦掌】1．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）李红同学遇到了这样一道题：，你猜想锐角α的度数应是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：∴∴∴．故选：D．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（2023春·广东佛山·九年级校考开学考试）下列三角函数中，值为的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊锐角三角函数值逐项进行判断即可．【详解】解：A．由于，因此选项A不符合题意；B．由于，因此选项B不符合题意；C．，即，因此选项C不符合题意；D．由于，因此选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是解决问题的关键．3．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）计算的值（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】解：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的锐角三角函数值．4．（2022秋·甘肃兰州·九年级兰州十一中校考期末）的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，即可求解．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．5．（2023·甘肃平凉·校考三模）计算．【答案】【分析】先分别计算绝对值，特殊角的余弦值，利用二次根式的性质化简求值，然后进行加减运算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值，特殊角的余弦值，利用二次根式的性质化简．解题的关键在于正确的运算．6．（2023·山东威海·统考二模）计算：．【答案】/【分析】根据特殊三角函数值及负指数幂可进行求解．【详解】解：原式；故答案为．【点睛】本题主要考查特殊三角函数值及负指数幂，熟练掌握特殊三角函数值及负指数幂是解题的关键．7．（2023·上海·九年级假期作业）填空：；；，．【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解．【详解】解：；；；．故答案为：；1；；．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．8．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）计算：．【答案】【分析】先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，求特殊角三角函数值，零指数幂，正确计算是解题的关键．9．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）计算：【答案】【分析】利用平方差公式对算式进行处理并将相应的特殊角的三角函数值代入算式，按照相关的运算法则进行运算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题综合考查了二次根式的运算和特殊角的三角函数值．在进行二次根式混合运算的时候，可以适当地运用乘法公式简化运算．不注意运算顺序是进行二次根式混合运算的过程中容易出错的地方．特殊角三角函数值是中学数学的重要内容也是常考知识点，需要重点记忆．10．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）按要求完成下列各小题．(1)计算：；(2)解方程：．【答案】(1)；(2)，．【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算；（2）公式法解方程即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：，∴，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的运算，解一元二次方程．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，公式法解一元二次方程．11．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先计算二次根式的乘除，然后再化简合并同类二次根式即可；（2）首先分别代入特殊角的三角函数值，然后再计算二次根式的乘法，最后化简合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的混合运算法则以及特殊角的三角函数值是解题的关键．【知不足】1．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】先根据，得，根据同底等高可以得到，即可求得k的值．【详解】解：连结

，轴，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2．（2023春·广东佛山·九年级校联考开学考试）在中，，若的三边都扩大3倍，则的值（）A．放大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定【答案】C【分析】根据题意可知变化后的三角形与原三角形相似即可解答．【详解】解：在中，，的三边都扩大3倍，变化后的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应角相等，的大小没有发生变化，的值不变．故选：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及相似三角形的性质．根据题意得到变化后的三角形与原三角形相似是解题的关键．3．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，由可得，可得，而，可得为等边三角形，从而可得答案．【详解】解：如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，

∴，，，∴，∴，即，∴，∴，而，∴为等边三角形，∴，∴多边形的边数为：，故选B【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．4．（2023·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）计算：的结果是．【答案】/【分析】根据负整数指数幂、角的余弦值、零次幂以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合运算即可．【详解】解：===，故答案为：．【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记角的余弦值是解答本题的关键．5.（2023春·山东威海·九年级统考期中）计算：．【答案】1【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】解：，故答案为：1．【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）计算：【答案】1【分析】分别进行特殊角的三角函数运算、零指数幂运算、绝对值运算、负整数指数幂运算即可解答．【详解】解：原式，故答案为：1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数、零指数幂、绝对值性质、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答的关键．7．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）

【答案】【分析】连接，过作，可求，从而可得，求出和，即可求解．【详解】解：连接，过作，，

四边形是矩形，，，，，∵以点为圆心，为半径画弧，交于点，∴，∴是等边三角形，，，，，，，；故答案：．【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定及性质，扇形的面积公式，掌握相关的性质及公式是解题的关键．8．（2023秋·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）（1）计算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，再进行计算即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）；（2）原方程变为，∴或，解得，．【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和一元二次方程的解法是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·校联考二模）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简即可得出答案；（2）直接利用单项式乘以多项式运算法则及合并同类项计算即可得出答案．【详解】（1）；（2）．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质和特殊角的三角函数值，零指数幂的性质，单项式乘以多项式运算法则等知识点，正确掌握相关运算法则是解题的关键．10．（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）计算：．【答案】2【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可.【详解】解：.【点睛】本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.11．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）计算：．【答案】10【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算．【一览众山小】1．（2023·江苏南京·校考三模）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（）

A． B．4 C．2 D．【答案】D【分析】由主视图和左视图可得：，，，连接，则有，可求，即可求解．【详解】解：如图，

由主视图和左视图可得：，，，，，，，连接，则有，为等边三角形，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了几何体的三视图，正六边形的性质，特殊角的三角函数值，掌握三视图长宽高与原几何体之间的关系及正六边形的性质是解题的关键．2．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可．【详解】解：如图所示，过点B作轴，

∵，∴，∴，，∴，，∴，，∵与关于直线对称，∴，∴，∴，B，D三点共线，∴，∵，∴，∴，∴，将其代入得：，故选：A．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．3．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，菱形中，，经过、、三点，以点为圆心，为半径作弧，点在的延长线上，为的切线，若，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，过点B作，根据菱形的性质，易证和是等边三角形，利用圆的切线的性质，结合特殊角的三角函数值，求得，再利用等边三角形三线合一的性质以及勾股定理，求得，然后利用扇形的面积公式，分别求出和，即可求出阴影部分的面积．【详解】解：如图，连接，过点B作，四边形是菱形，，，，，，，，和是等边三角形，为的切线，，，，，，，，由勾股定理得：，，，故选：D．

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，圆的切线的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，扇形面积公式，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．4．（2023·山东日照·校考三模）如图，点A、B、C在上，且AB经过点O，，，动点D在AB上，过点D作DEAB，交折线于点E，设，的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】可求，①点在上时，可求，从而可求面积解析式；②当点在上时，可求，从而可求面积解析式；进而可求解．【详解】经过点，，，，①如图，点在上时，

，，，，，；图象为过原点的开口向上的一段抛物线；②当点在上时，连接

，，，；图象为一段开口向下的抛物线；故选：．【点睛】本题考查了三角函数，二次函数在动点问题与面积问题中的应用，掌握三角函数的定义，求出点在上和点在上的函数解析式是解题的关键．5．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，直线与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图像交于两点（点在点的左边）．若，平分，则的值为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如图所示，过点作于点，作于点，过点作于点，先证明，根据面积法或相似三角形或三角函数求得，表示出，进而根据列出方程，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点，过点作于点，作于点，与交于点，连接，

设，，∴，，，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，同理可得，，∴，如图所示，作于点，

∵，∴，，∵，∴，设,∴∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合题意，舍去），∴，故选：．【点睛】本题主要考查一次函数与反比函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算方法，相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法，勾股定理等知识是解题的关键．6．（2023·河北石家庄·校联考二模）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点E，连接，交于点F，若，．（1）；（2）的长为．

【答案】【分析】（1）根据三角函数即可解答；（2）根据题意可得为的角平分线，即可得，求出的长度，从而可得的长，再证明，即可得到的比值，即可解答．【详解】解：（1）四边形是矩形，，，，在中，，，故答案为：30；（2）由题意可得为的角平分线，，在中，，在中，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，能利用相似三角形的性质得到的比值是解题的关键．7．（2023·安徽六安·统考二模）如图，过原点，与轴、轴分别交于两点，已知，则弧的长为．

【答案】【分析】如图，连接，，过作于，由，可得，，，可得，，，再利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：如图，连接，，过作于，

∵，∴，，，∴，，∴，，∴的长为；故答案为：【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的求解是解本题的关键．8．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，，则四边形的面积是．

【答案】【分析】连接，可得，即平分，在上截取，连接，证明，进而可得为等腰直角三角形，则四边形的面积，代入数据求解即可．【详解】解：如图，连接，

矩形中，，，，，，，，，，，，，在上截取，连接，则，∵，∴，∴，，，，，，四边形的面积．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质，根据特殊角三角函数值求角的度数，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线，将四边形的面积转化为．9．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，四边形内接于，为直径，点E在的延长线上，的延长线交于点F，，．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)的长为【分析】（1）连接，，利用圆内接四边形的性质，平行线的性质，圆周角定理证明．（2）运用勾股定理，三角函数，计算，圆的半径，套用弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：连接，，

∵四边形内接于，∴．∵，∴．∴．∵，，∴，．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵是的半径，∴是的切线．（2）解：在中，设，∵，，∴．由勾股定理，得．解得．∴．∵，∴．∴的长为．【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，切线的证明，勾股定理，余弦函数，弧长公式，熟练掌握切线的证明，勾股定理，余弦函数，弧长公式是解题的关键．10．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，在中，，平分，的平分线交于点，以为直径的经过点，交于另一点．

(1)求证：是的切线．(2)若，，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接，，根据等腰三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据等边三角形的选择得到，求得，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：连接，

∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，平分，∴，∴，∴，∵为的半径，∴是的切线；（2）解：连接，，

∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地做出辅助线是解题的关键．11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E是斜边上一点，以为直径的经过点D，交于点F，连接．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，，由角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得，再根据切线的判定即可得出结论；（2）连接，，由，，可得，，再由直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，根据角平分线的定义可得，利用锐角三角函数求得，再由直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，可得，从而证明是等边三角形，可得垂直平分，再由，可得，从而可得，再利用扇形的面积公式计算即可．【详解】（1）证明：连接，

∵，是的半径，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴于点D，又∵为的半径，∴是的切线．（2）解：连接，，∵在中，，，∴，，∵，∴，∵是的直径，∴，∵平分，∴，在中，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，又∵，∴垂直平分，∵，，∴，∴，∴．

【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质及扇形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．12．（2023·江苏·九年级假期作业）在正方形中，点H在对角线上（与点B、D不重合），连接，将绕点H顺时针旋转与边（或延长线）交于点P，作交射线于点Q．

(1)如图1：①依题意补全图1；②判断与的数量关系并加以证明；(2)若正方形的边长为，