直线的斜率倾斜角以及直线方程

一、直线的方程1） 直线的斜率：k=七—七（x丰x）尤一X1 2直线斜率k越大，反映直线相对于x轴倾斜程度越大；反之，直线的斜率k越小，反映直线相对于x轴倾斜程度越小.除去垂直于x轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，有k=工4（x牛x）就x-x1 2可以算出这条直线的斜率.方程y=kx+b的图象是通过点（0,b）且斜率为k的直线.求斜率的步骤：给直线上两点的坐标赋值：计算Ax=x—x,Ay=y—y；2 1 2 1如果Ax=0,则判定“斜率k不存在”；如果Ax丰0,计算k=当=二~七；Axx—x输出斜率k.2） 直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.斜率与倾斜角的关系由斜率k的定义可知：当k=0时，直线平行于x轴或与x轴重合.当k>0时，直线的倾斜角为锐角；k值越大，直线的倾斜角也随着增大.当k<0时，直线的倾斜角为钝角；k值越大，直线的倾斜角也随着增大.垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°.3） 直线的方程与方程的直线的概念一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线.由于方程y=kx+b的图象是一条直线，因而我们今后就常说直线y=kx+b.直线方程的几种形式点斜式方程：y一y0=k（x-x0）斜截式方程：y=kx+b两点式方程：~y^=尤气y—yx—x21 21截距式：—+?=1;ab一般式：Ax+By+c=0（A、B不全为零）二、直线的五种形式的比较名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y—y0=k(x—x0)（x0,y0）是直线上定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式y—约=x—二y—yx—x2 12 1（气，x2）是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式xy1一+二=1aba是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax+By+C=0(A2+B2丰0)A,B,C为系数任意位置的直线三、两条直线的位置关系已知两条直线的方程为/:Ax+By+C=0，l:Ax+By+C=0TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1 2 2 2 21） 两条直线相交、平行与重合条件：相交的条件：AB-AB。012 21平行的条件：AB—AB=0且BC—CB。012 21 12 12重合的条件：A1=XA2，B1=XB2，C=XC0）2） 两条直线垂直的条件：AA+BB=012 12延伸：斜率存在的情况下：两条直线为1:y=kx+b；1:y=kx+b1 1 1 2 2 2相交的条件：k。k；平行的条件：k=k且b。b；重合的条件：k=k，b=b.1 2 12 12 12 12四、归纳提高1）一条规律直线的倾斜角与斜率的关系：斜率k是一个实数，当倾斜角a丰90时，k=tana.直线都有倾斜角，但并不是每条直0线都存在斜率，倾斜角为90的直线无斜率.02） 两种方法求直线方程的方法：直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；待定系数法：先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组）求系数，最后代入求出直线方程.3） 两个注意求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.一、直线的倾斜角与斜率求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y=tana的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法.【题干】已知直线l过点（。,1），（。+1,tana+1），则（ ）A.a一定是直线l的倾斜角 B.a一定不是直线l的倾斜角C.a不一定是直线l的倾斜角 D.（180。-a）一定是直线l的倾斜角【答案】C【解析】因为直线l过点（。,1），（。+1,tana+1），所以，l的斜率k=tana.因为直线l的倾斜角在［0,兀），可判断a不一定是直线l的倾斜角.【点评】【题干】设直线l的方程为（。+1*+y+2=0（aeR）.（1） 若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；（2） 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.【答案】（1）3x+y=0或x+y+2=0；（2）（一8,-1】.【解析】（1）令x=0，得y=a—2.令y=0，得x= （a二—D.因为l在两坐标轴a+1a—2上的截距相等，所以，a—2=一-，解之，得a=2或a=0.所以，所求的直线l方程为a+13x+y=0或x+y+2=0.(2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2.因为，l不过第二象限，所以，-（a-（a+1）>0a-2<0，所以，a<-1.所以，a得取值范围是(一旧-1】.【点评】【题干】若直线l:y=kx-必与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.B.C6C.D.A.B.C6C.D.【答案】B.【解析】联立两直线方程得:y【解析】联立两直线方程得:y=kx-\3（1）2x+3y-6=0 （2）将(1)代入(2)得:x=3；3:6 (3)，把(3)代入(1)，求得y=6[2.3，所以两直线的交点坐标为2+3k 2+3k3点+66k-2、；3) , —_ -/ 3<3+6八-T― ，一|，因为两直线的交点在第一象限，所以得到一——>0，2+3k 2+3k7 2+3k且一-—三—>0，解得，k>土-，设直线l的倾斜角为0，^ijtan0>-^-―2+3k 3 3『兀兀、保写7.【点评】二、求直线的方程在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.【题干】使三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x-3my=4不能围成三角形的m值最多有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】当直线l1:4x+y=4平行于l2:mx+y=0时，m=4.当直线l1:4x+y=4平行于l:2尤-3my=4时，m=-6.当l:mx+y=0平行于l:2x-3my=4时，2-m=3-，此时方程无解.当三条直线经过同一个点时，把直线11与12的交点（4 -4mV, _ _ . 8- -4m,-——,——代入l:2x-3my=4，得：——-3mx——=4.解得，m=-1或[4-m4-mJ 3 4-m 4-mm=I.综上，满足条件的m有4个.【点评】【题干】经济学中的“蛛网理论”（如下图），假定某种商品的“需求一价格”函数的图象为直线l，“供给一价格”函数的图象为直线l，它们的斜率分别为k，k，l与l的交1 2 12 12点P为“供给一需求”平衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网，，路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达到均衡点P，与直线l1与匕的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达到均衡点P的条件为( )A.k+k>0b.k+k=0c.k+k<0d.k+k可取任意实数12 12 12 12【答案】A【解析】先看图2，直线l与l的斜率互为相反数，此时沿平行于坐标轴的“蛛网”12路径，箭头所指方向构成矩形封闭图形，最终不能达于均衡点P，故图2不符合题意;由图2的图形绕P点逆时针旋转，可得图1图形.因为直线l1的倾斜角为锐角在增大，直线l2的倾斜角为钝角也在增大，所以满足斜率之和k1+七>0，最终能达于均衡点P，可得图1符合题意；由图2的图形绕P点顺时针旋转，可得图3的图形.因为直线l1的倾斜角为锐角在减小，直线l2的倾斜角为钝角也在减小，所以满足斜率之和k1+k2<0，最终不能达到均衡点P，可得图3符合题意.综上所述，在最终能达到到均衡点的图1中，满足k1+七>0.【点评】【题干】设直线l的方程为（。+1）x+y+2=0（aeR）.若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；若l不经过第二象限，求实数1的取值范围.【答案】(1)3x+y=°或x+y+2=0；(2)(—8,—1】.【解析】(1)令x=0,得y=a-2.令y=0，得x=^―2(a^-1)，：l在两坐标轴上a+1a—2的截距相等，二a-2=一-，解之，得a=2或a=0.所以，所求的直线l方程为a+13x+y=0或x+y+2=0.[-(a+1)20(2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2，：l不过第二象限，二｛ ，[a-2<0a<-1，.，.a的取值范围为(-8,-1].【点评】三、两条直线平行与垂直的判定及应用充分掌握两直线平行与垂直的条件是关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线〈和〈，lnl=k=k，l±l=k-k=-1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的TOC\o"1-5"\h\z1 2 12 12 1 2斜率是多少一定要特别注意.①若直线l和l有斜截式方程l:y=kx+b，l:y=kx+b，则：直线l±l的12 1 1 12 2 2 12充要条件是k「k2=-1.②设l:Ax+By+C=0，l:Ax+By+C=0.则：l11=AA+BB=0.1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 12 12运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0(meR且m丰C)；与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(meR)；过直线l:Ax+By+C=0与l:Ax+By+C=0的交点的直线系方程为11 1 1 22 2 2Ax+By+C+人(Ax+By+C)=0(人eR)，但不包括l.1 1 1 2 2 2 一 2‘【题干】已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直，垂足为(1,c)，则a+b+c的值等于.【答案】-4.【解析】由于直线互相垂直，因此直线ax+4y-2=0的斜率为k=-；，.・.a=10，1b———・.・X-^295-1，「・b-—12,.・・将(1£)代入直线102x—5y—12-0，解得：c-—2,:.a+b+c-—4.【点评】【题干】已知过点P（3,1）的直线，被两平行直线〈：x+2y—1-0与七:x+2y—3-0所截的线段中点在直线12：x—y—1-0上，求直线l的方程.【答案】2x—5y—1-0.【解析】设点P（3,1）的直线l被两平行直线〈：x+2y—1-0与12:x+2y—3-0所截的线段中点为M，则容易知道点M在直线x+2y—2-0上，于是可以利用过两直线交点的直线系方程求解：设直线1的方程是（x+2y—2）+*（x—y—1）-0，则由于该直线过点P（3』），解得人-—3.于是直线1的方程是2x—5y—1-0.【点评】【题干】已知四边形ABCD的顶点为A（x,y），B（6,1），C（3,3），D（2,5）是否存在x，y使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由.【答案】【解析】【点评】【题干】已知kx,y)(m+3)x+y-3m—4^|^(x,y)|7x+(5—m)y—8-0}=8，则直【题干】已知线（rn+3）x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是【答案】2.【解析】已知条件即为两条直线平行，由（m+3）（5—m）-7可解得m-4或m-—2.注意到m-4时两直线重合不符合要求，因此m-—2.问题中的直线为x+y-—2，不难算出所求面积是2.【点评】【题干】直线1被两条直线l1:4x+y+3-0和l2:3x—5y—5-0截得的线段的中点为P（—1,2），求直线1的方程.

【答案】3x+y+l=0.【解析】方法-：设直线/与《的交点为aG°,*）,由已知条件，得直线/与匕的交点为3（_2-"3（_2-"",并且满足＜4x+y+3=03-(-2-x)-5(4-yo)-5=O,即4x+y+3=0oo3x-5y+31=0'l0 0解得x=-20解得x=-20y=50因此直线l的方程为3]+y+1=0.方法二：设直线/的方程为）一2=方法二：设直线/的方程为）一2=*（工+1）,即丘一》+*+2二。.由＜kx-y+k+2=04x+y+3=0得.由k+4kx-y+k