借助方程思想 解决线段比值问题 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选借助方程思想 解决线段比值问题摘要：方程思想是初中代数中一种非常重要的解题方法，它是从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过设未知数来建立方程或方程组，再通过解方程或方程组来解决问题的一种思维方式。利用方程思想来解决问题的关键是建立方程模型。而在初中几何部但是线段比值问题基本都具备方程的特性，若能根据题意及图形之间的关系找出其中蕴含的等量关系，建立方程，把几何问题转化为代数问题，则会使思路更加清晰，解决过程更加简便，达到把几何问题简单化的目的。关键词：方程；方程思想；线段比值；几何应用引言：在初中几何题目中，在线段比值问题的求解中，通常是初中数学的综合应用，已知条件较为复杂，虽然问题中让求解线段比值，但是题目中并没有给出线段长度或者线段以及其他的数量关系，让很多学生理不清要求解的线段与已知之间的关系而无从下手。如若能根据线段之间的等量关系建立方程模型，把几何问题转化成方程来求解，往往会达到意想不到的解决效果。线段比值的求解通常和相似三角形放在一起考查，也是中考压轴题一个常考的考的模型，根据比例关系转化为方程模型，问题就会迎刃而解。一、题目呈现如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF。（1）求证：△ABF≌△EAD（2）如图2，若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BE的值。EC12022年安徽省中小学教育教学论文评选此题是安徽省2021年中考第23题，这个题目是一道几何综合题目，难度非常高。已知条件，易证∠ABE=∠AEB,∠DCE=∠DEC，即可得AB=AE,DE=DC，再证明四边形AFCD是平行四边形即可得AF=DE,根据SAS决该类型题目的相关思路。二、解法探究2.1 思路分析第三问在已知的主干条件上，又添加了一个条件：BF的延长线经过AD的中点M。但是这个题目是求BE的比值，观察题目△ABE和△DCE都是等腰三角形，并且底角都ECBE=AB=AEBE的比值EC DC DE EC进行转化成求解AB或者AEDC DE也没有告诉相关线段的比例，因此求解AB或者AE的比值过程中，有的同学没有了思DC DE路或者思路出现了偏差。试图求出或者的长度，但是由于没有已知线段有未知数不知道如何构建方程，这是学生的薄弱环节。2.2 解法剖析面对这类题目的时候，我们的思路是利用方程思想构建方程模型，但是具体怎么构22022年安徽省中小学教育教学论文评选建BEEC们分析易证△ABE∽△DCE，可得BE=AB=AE,在求解过程中，我们并不设BE或者ECEC DC DE的长，而是设AB=x,DC=1,这样设的好处有哪些？第一，△ABE和△DCE都是等腰三角形，我们可以对相关的线段进行等量代换，从而找到各个线段的数量关系；第二，BE=AB=x=x,也就是说我们只要求出xBE的比值也就可以求EC DC 1 EC出。既然要求解未知数x的值，那么需要找到等量关系，对于中点，我们要么做中位线或者倍长中线，从而构建方程求解。如图4解：过点M作MP∥DE交AE于点P设AB=x、DC=1由问题（1）得：AB=AE=x、DC=DE=1因为AFCD是平行四边形，所以M是ADP也是AE的中点且PM=DE=1AP=PE=x，2 2 2所以PF=x-1。因为DE∥AB，所以PM∥AB，2所以△ABF∽△PMF。所以AB=AF,即：PM PF解得：x=1+

2或x=1-

2（负数舍去）检验：x=1+

2是原方程的解；因为△ABE∽△DCE，所以BE=AB=x，即BE=1+2。EC DC EC转化为对方程的求解，因此无论是作中位线还是倍长中线，我们的目的都是找到等量关系，列出方程。2.3 解法拓展32022年安徽省中小学教育教学论文评选既然这类题目的思路是利用方程思想，使几何问题代数化，是否还能利用相同思想给出不同解法呢？如图5解：延长BM到点Q，使MQ=BM，连接DQ因为点M是AD中点，所以AM=MD。因为∠AMB=∠DMQ，所以△ABM≌△DQM，所以AB=DQ,∠ABM=∠Q，所以DQ∥AB。因为DE∥AB，所以点E、D、Q三点共线。设AB=AE=x，DE=DC=1所以DQ=AB=1,所以QE=1+x。因为四边形AFCD是平行四边形，所以AF=DC=1,所以EF=x-1。因为QE∥AB，所以△ABF∽△EQF,所以AB=AF,即=x即可求解出BE的比值。EC2.4 本题总结

QE EF给我们线段的长度或者比例关系，其他（如面积，周长等）方面数量关系也没有告诉，换。然后我们把分子设为未知数1，这样整个线段比值也就等于程求得（如图42022年安徽省中小学教育教学论文评选三、通用探究此我们在做题时需要认真观察题目或者寻找等量关系。3.1 改变问题形式变式ABCDE为ADCE,BF⊥CE于点于点G。（1）求证：DG=CF;（2）连接AG，若点G为EF的中点，①求证：△AEG∽△AGD；②求tan∠FBC的值。这个题目是二轮复习中模拟样卷上第23题，第一问和第二问的①问都是纯几何题目，考查学生的几何基础知识。在第一问中：证明DG=CF，只需要证明△CDG≌△BCF即可。第二问的第①小问中：如图8，连接DF构造垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，证明△ADG≌△DCF，得到∠AGD=∠CFD=∠AGE，从而证明△AEG∽△AGD。在第一问和第二①问的基础上，题目又增加了难度，出现②问中的问题，求tan∠FBC的值。要想求出tan∠FBC在Rt△BFCtan∠FBC=FC,也就是说我们只需要求出FCBF BF题。有出现，因此我们需要把几何问题转化为代数问题，再求解。解：设FC=x，BF=1CG=BF=1,DG=FC=x，所以GF=CG-FC=1-x.因为点G52022年安徽省中小学教育教学论文评选是EF得中点，所以EG=GF=1-x。因为在Rt△EDC之中，DG⊥CE,所以由射影定理得:DG2=EG·GC，即x2=(1-x)·1。解得：x1=x2=(负值舍去）因为在Rt△BFC中，tan∠FBC=FC，所以tan∠FBC=。BF比值问题，需要运用方程思想，进行求解。3.2 利用勾股定理列方程变式2：如图9，点E是菱形ABCD的边AD的中点，点F是AB上的一点，点G是BC上的一点，先以CE为对称轴将△CDE折叠，使点D落在CF上的点D’处，再以EF为对称轴折叠△AEF，使得点A的对应点A’与点D’重合，以FG为对称轴折叠△BFG，使得点B的对应点B’落在CF上，若∠A=60°，则FG的值为 。CE这个题目使2022年安徽第一卷的某套模拟试卷的第14常多，需要对已知条件进行分析整理，在求FG过程中，先进行转化，然后利用方程思CE想进行求解。并且根据菱形的性质，∠B=∠D,∠DEC=∠A’CE=∠B’FG=∠BFG,所以得出△DEC∽△,A’EC∽△FBG∽△FB’G，所以FG=BG因为点E是AD中点，所以可以得出：DE=,BG=1

CE CDFB 2。设BG=x,A’E=1,得出DE=AE=A’E=1，所以AB=BC=DC=AD=2，BF=2x。所以AF=A’F=2-2x；因为A’C=DC=2，所以CF=4-2x。如图10：过点C作CP⊥AB,交AB延长线于点P。62022年安徽省中小学教育教学论文评选因为∠A=60°，所以∠CBP=60°；又因为BC=2，∠P=90°，所以BP=1,CP=3。在Rt△CPF中，CP2+PF2