构造法在中学数学中的若干应用 论文

构造法在中学数学中的若干应用摘能力和激发学习兴趣。关键词：构造法，数学解题，转化引为重要。在解决数学问题时，常规的思维方式都是从题设条件出发，寻求解决问题的方法。但必须转换一个思路，也就是换一个角度思考问题，只有这样才可能找到解决问题的方法[1]。个新的数学式，换个途径解决问题的方法，就是人们常说的构造法。运用构造法解题，是依据数学问题的本质特征以及数学问题的内在联系，构造出与问为什么目的而构造；二要弄清问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。用，通过具体的实例，展示出构造法的妙处。一、构造法在中学数学中的若干应用1.构造函数常是因题而异的[4]。因此，构造函数法在解决数学问题时用处很广。PAGEPAGE1例1设yax5bx3xxR,当x时，y9x5时，y的值.x时，y的值，求x5时y的值.5与5互为相反数，观察式子yax5bx3x3a,bf(x)ax5bx3xf(x)为奇函数，可以利用f与f解题.解：设f(x)ax5bx3x，则yf(x)3，即f(x)y3因为fyx53936，又f(x)f(x)所以ff故yx53注：本题关键在于观察题目条件，构造函数，善于利用函数奇偶性。例2若x证明:x1x 5.x x21 2，分子分母同除以 .分析：观察式子x x，即为1 可令tx1，分子分母同除以 .x1x21 xx式子化简，再进一步求解.=证明：x1x x11 =x x21

x x1x令tx1，取f(t)t1.因为x0，则t2，又由f11x t t2知f(t)在故f(t)f(2)5,即t152 t 2所以,x1x 5x x21 2.变量构造函数，利用函数性质求解。了解，还要善于观察题目条件，敢于大胆尝试，以便选择恰当的函数。2.构造方程分为下面的几种情况。（1）题目中有形如b24ac的式子例3若(ca)24(ab)(bc)0，试证：a,b,c成等差数列.b24ac相似.因此，可以构造一元二次方程进行求解.证明：构造方程(ab)x2(ca)x(bc)0由题意知(ca)24(ab)(bc)0所以，方程有两个相等实根,又因为(ab)(ca)(bc)0故x1为方程的根，即x21,由韦达定理有x22bac.即a,b,c成等差数列.

abbc

化简得（2）题目中有形如两根之和与两根之积的式子例4若实数a,b,c满足a10b,c2ab25，求a,b,c的值.分析：本题可以利用消元法进行求解，但注意到题目中有ab及ab，可以联想到韦达定理，因此可以用构造一元二次方程的方法求解.解：由a10b,c2ab25得ab10,abc225构造方程x210x(c225)0，则a,b是方程的两个根.由x210x(c225)(x5)2c20得，x5且c0,所以，两根均为5，即ab5.故ab5，c0.（3）题目中有相同特征的方程形式例5已知实数x,y满足：(x1)32014(x1)5(y1)32014(y1)求xy的值.分析：若用常规方法求解出x,y，然后再计算xy，会比较繁琐困难.注意到题目中的两个方程比较相似，右边的数互为相反数.因此可以构造方程(x1)32014(x1)y)3y)5，进行求解.解：构造方程(x1)32014(x1)y)3y)5因为函数f(t)t32014t是单调递增的.所以x11y.故xy2.3.构造图形明构造法在中学数学中的应用。例6已知实数x满足x1x43，则x的取值范围是＿＿＿＿.x1x431与4的距离之和大于31与4之间的点到1与4的距离之和等于x不能取在1与41与4）.而当x1或x4时，x到1与4的距离均大于3，故x的取值范围x1或x4.-2 -1 0 1 2 3 4 5 x例7已知正数,,,a2,b2,c2满足a2b2c2k求证：ab

bc

ca

k2.12 12 12分析：要证的不等式左端是几个乘积式的和，可以联想到几个面积之和.因（）（）A1Ea（）（）A1Ea2B2F1DG11Hc2CAE,EBa2,AFb2.FD,BH2HCc2,GC,则k，2即ab

bc

ca

k2c212 12 1c2（方法二）如下图所示，构造出边长为k的正三角形ABC,取三点D,E,F,使ADc2,DB,BFa2,FC,AE,ECb2AAc2b1D1E b2B a2 F C则SEFCSADESDBF

SABC即1ab601bc601ca

sin601k2sin60212

212

212 2化简得ab

bc

ca

k212 12 12（方法三）构造以k为棱长的正方体，则有3k(a1a2b2)(c1c2)abc3

abc

kb

bc

ca111

222

12 12 123又,,,a2,b2,c2均大于零.所以k3

k(a1b2b1c2c1a2)即ab

bc

ca

k2.12 12 12求解就值得一试。4.构造数列数列是高中知识的一个重点同时也是难点。数列的实质是“按照一定规律”前n项和。而在求数列的通项公式时，经常通过构造法来求解。对于有些题目看似与数列无关，其实也可以通过构造数列进行求解。例8已知数列an中，13，an12an5，则通项an=＿＿＿.解：题目中的递推关系式，形如an1panq，且p,q均为常数.因此可以构造一个等比数列.令an1t2(ant)可求得t5.故an是以8为首项，2为公比的等比数列.有an

58，即a

85.n例9已知数列an的首项为1，an1ann2，求通项an.nn，因此可以选择构造数列法求解.解：令an1t(n1)m3(antnm)又因为an13ann2，可求得t

1,m2

5.因此，数列 an4 an

1n5是2 4以11为首项，3为公比的等比数列，可得4a

1n511.即a

111n5.n 2 4 45.构造复数

n 4 2 4数的知识解题更加清晰简便。例10已知实数a,ba2a2b21a2b2a21b21a21b2

22个平方的和，可以联想到复数的模，采用构造复数法解题。证明：构造复数z1abi，z2a)bi，z3ab)i，z4a)b)i，a2b2a2b2

，z2 ，1a)21a)2b2a21b)2

，z4

a)2

b)2.又z1

z2

z3

z4

z1z2z3z4

22故

a2b2

22.1a2b2a21b21a211a2b2a21b21a21b2n n an1sincos中为已知锐角，求数列an,n的通项公式.tan解：令znanbni，且an,bnR,nN，则zn

(a cosb sin)(a sinb cos)i an1(cosisin)(an1bn1i)an1cosisin所以复数列zn是以11itan为首项，cosisin为公比的等比数列.则有zn

itan)(cosisin)n1sec(cosisin)(cosisin)n1sec(cosisin)nsec(cosnisinn)所以ansecn，bnsecn二、总结通过上文的例子可以看出，构造法的应用非常广泛。它可以将函数与等式、就是说在数学的任何角落都可以找到构造的身影。这也说明构造法的种类很多，有一定的灵活性和创造性，这需要我们在平时的学习过程中多积累多思考。参考文献：[1]朱永生，林立军，刘莉.2006,322-