关于三角形内角和定理及推论的一点思考 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选关于三角形内角和定理及推论的一点思考摘们就来以它为例进行研究。关键词：几何直观，发散思维，推理能力，数学思想，应用意识引 的几何证明，锻炼学生的几何直观和推理能力，在推理中体会数学之美，感受数学的奥妙。一、三角形的内角及三角形内角和定理1．三角形的内角（1）文字叙述：三角形内部的三个角是三角形的内角。（2）几何语言：∠A，∠B，∠C或∠1，∠2，∠3。A1 2 3 B C图1△ABC示意图12022年安徽省中小学教育教学论文评选2．三角形的内角和定理（1）文字叙述：三角形三个内角和等于180°。（2）几何语言：∠A+∠B+∠C=180°或∠1+∠2+∠3=180°。二、几何证明相关知识及其重要性1.证明的释义证明（zhèng性；（2）指证明书、证明信。而在汉语释义中，它还有许多不同的解释。例如，据实以明真伪；参悟；证人或证据；逻辑学，所有的证明都是以矛盾律的有效性为前提；真与可证是两个概念，可证的一定是真的，但真的不一定可证。2.证明的含义在几何中，从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻就是演绎证明，简称证明。3.辅助线的含义在几何证明的过程中，有的时候为了证明的需要，我们在原来图形上添画的线叫做辅助线。4.几何证明的一般步骤（1）审题，分清命题的题设和结论；（2）画图，结合图形写出已知和求证；（3）证明，作出辅助线，综合运用定理，找出已知和未知的联系，或推翻否倒命题不成立的假设。（4）整理，有条理的写出证明过程。5.常见的证明方法我们数学上常见的证明方法分为直接证明和间接证明，具体的有反证法、数学归纳法、构造法与非构造性证明、穷举法、换质位法、个案分析、算两次（算两次是一种对同一个量进行两种虽不同但都正确的分析，得到两个虽不同22022年安徽省中小学教育教学论文评选论，是指将结论分成有限的个案，然后逐个证明的方法）以及其他证明方式6.几何证明的重要性们学习几何知识这一大体系所不可或缺的。三、三角形内角和定理的几种证明方法研究几何图形，我们在以前的学习中亦或采用了观察、操作、实验等方法，但恰恰是以上方法难以使人确信结果的正确性，所以才需要我们进行严格的几何证明。下面，我将写出我们在探究三角形内角和定理时进行的几种几何证明过程。已知：△ABC，如图2.求证：∠A+∠B+∠C=180°AB C图2△ABC示意图32022年安徽省中小学教育教学论文评选证法1：AE1 2 DB C图3证法1图示证明：如图3所示，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2＝∠B，则 CE∥BA.（同位角相等，两直线平行）∴∠A＝∠1.(两直线平行，内错角相等)∵B，C，D∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°（平角的定义）∴∠A＋∠B＋∠ACB=∠1+∠2+∠ACB＝180°（等量代换）（即证三角形的内角和等于180°）证法2：AD E1 2B C图4证法2图示证明：如图4所示，过点A做直线DE∥BC.∵DE∥∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.（两直线平行，内错角相等）42022年安徽省中小学教育教学论文评选∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.（等量代换）（即证三角形的内角和等于180°）证法3：AF E2 41 3B D C图5证法3图示证明：如图5所示，D是BC边上一点，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F.∵DE∥AB，（所作）∴∠A＝∠4，∠B＝∠3（两直线平行，同位角相等）∵DF∥AC，（所作）∴∠2＝∠4，（两直线平行，内错角相等）∴∴（即证三角形的内角和等于180°）证法4：52022年安徽省中小学教育教学论文评选AD12B C图6证法4图示证明：如图6所示，过点A做直线AD∥BC.∵AD∥又∵∠BAD＝∠1＋∠2，（已知）∴∠BAC＋∠B＋∠C＝∠2＋∠B＋∠1=180°.（平角的定义）（即证三角形的内角和等于180°）证法5：AF N1D 2 O 5 E463B M G C图7证法5图示证明：如图7所示，O是△ABC内一点，过点O作DE∥BC，FG∥AC，MN∥AB，分别交BC，AC，AB于点D，E，F，G，M，N.62022年安徽省中小学教育教学论文评选定义）

∵FG∥AC，（所作）∴∠A＝∠1，∠C＝∠3（两直线平行，同位角相等）∵DE∥BC，（所作）∴∠3＝∠6，（两直线平行，内错角相等）∵MN∥AB，（所作）∴∠2＝∠5，∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等）∴∠A＋∠B＋∠C＝∠1＋∠2＋∠3＝∠4+∠5+6=180°.（平角的（即证三角形的内角和等于180°）通过发散思维，考虑添加不同的辅助线，将三角形的三个内角转化到一起，从而构造出平角，利用已学过的平角的定义，对其进行几何证明，从而证明三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°，充分展示了学生的发散思维，体现一题多解的数学思想，配合几何图形，对学生形成自己的几何直观与逻辑推理能力有着不可估量的作用。四、三角形内角和定理相关推论1.推论1：直角三角形的两锐角互余.（1）几何语言：如图8所示，在△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.（2）直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.72022年安徽省中小学教育教学论文评选AC B图8Rt△ABC图示2.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.几何语言：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形.A DB C图9△ABC的外角图示3.三角形的外角如图9所示，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.82022年安徽省中小学教育教学论文评选4.推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.5.推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.A12B C3图106.三角形的外角和公式：三角形的外角和是360°.几何语言：如图10所示，∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.五、经典应用题型1.常见应用（1）已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角；（2）证明一个角等于另两个角的和或差；（3）作为中间关系证明两个角相等.2.拔尖角度（1）利用方程思想求三角形中角的度数；例1 如图11，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.92022年安徽省中小学教育教学论文评选A12 3 4B D C图11几个内角联系起来，将已知角和所求角度集中到同一三角形中列方程求解。解：设∠1＝∠2=x°，则∠3＝∠4=∠1+∠2=2x°.∵∠BAC=63°，∴∠DAC=63°-x°.∵∠3+∠4+∠DAC=180°，∴2x+2x+63-x=180°，解得x=∴∠DAC=63°-39°=24°.（2）利用化分散为集中的转化思想求多个角的度数和；例2如图12，在五角星ABCDE中，试说明：∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=180°.AB G F EC D图12解题秘方：利用“化分散为集中”的思想和“三角形的一个外角等于与它不102022年安徽省中小学教育教学论文评选相邻的两个内角的和”将分散的角转化到同一个三角形中求解.的外角，∴∠AGF=∠ACE+∠E.同理∠AFG=∠B+∠ADB.在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°，∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=180°.方法二：如图12，连接CD，易知∠B+∠E=∠BDC+∠ECD.∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E＝∠A+∠ECD+∠ACE+∠ADB+∠BDC＝∠A+∠ACD+∠ADC=180°.（3）利用三角形内角、外角关系探究角平分线夹角的规律.例3某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究.（1）如图13①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A=64°，则∠BPC= ；（2）如图13②，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E.其中∠A=α，求∠BEC= （3）如图13③，∠CBM，∠BCN为△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线交于点（4）如图13④，△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线交于点Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC= °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R= °A P AP

AB C

AB C BEPB C D B C① ②

M P N M③

Q NR④112022年安徽省中小学教育教学论文评选图13角的关系.归纳总结：与三角形角平分线有关的结论如下：1.由（1）可知，三角形中任意两个内角的平分线相交所成的角（简记为内2∠A夹角）等于90°加上第三个角的一半，即∠BPC=90°+1 2∠A2.由（2）可知，三角形中任意一个内角的平分线和与该内角不相邻的一个2∠A一半，即∠BEC=1 2∠A2∠A记为外夹角）等于90°减去∠A的一半，即∠BQC=90°-1 2∠A六、结束语角形的内角和是180°。在我们思考证明的过程中，充分的发散思维，体会一题用意识，强化学生的逻辑推理能力。中我们应当善于启发学生思考