对称思想在中学数学解题中的应用 论文

对称思想在中学数学解题中的应用1引言随着科技的发展与社会的进步，世界上各国之间的竞争演变为人才的竞争，解题技巧，还能培养学生的学习兴趣，有助于学生养成勤思考、多动脑的习惯，进而更容易提高学生的智力水平。2对称及对称思想的概述一种对称意味着结合成一个整体的几个部分之间的和谐和优美图1到图4称美。1宿州学院毕业论文宿州学院毕业论文对称思想在中学数学解题中的应用22我们把在数学和物理等各个学科中运用对称性解决问题的方法称为对称思想方数学家泰勒斯在他的著作《对称》数学家和教育学家像张奠宙教授授在研究“中国传统数学中的美学思想方法”在中学数学中，说到对称，最容易想到的就是轴对称、中心对、对称式等，中学数学解题中的应用。 图1图2 图3图43对称思想在中学数学解题中的应用PAGEPAGE3列、数式、解析几何这几个方面的应用进行举例说明。3.1对称思想在函数中的应用简单化，让繁琐的问题变得清晰明了，从而让函数问题更容易解决。3.1.1函数y（1）函数ygxmn对称2n（2）函数yg 2n2n3.1.2两个函数图象的对称性（1）函数yyy轴对称。（2）函数yyxmn对称，2a注意：函数yfyfxm对称（3）函数yfxm对称的函数表达式为yf（4）函数yfyf3.1.3奇函数与偶函数的性质（1）定义函数yfxff则称函数ffff（2）性质①满足定义式子ffff②在原点f0。③奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=偶函数④任何一个函数f⑥函数图象关于y函数是奇函数⑦如果函数fff如果fff3.1.4利用对称思想解函数题目例1已知sin6sinxcosx，x,析式。分析：因为函数sinxcosx为偶函数所以cosxx,x,x的定义域与x的定义域相同，题目中给出了sinx替换x，可以得到另外一个sin解出x替换x，由题目的条件知sin6sinxcosx(1) sinsinxcosx(2)(1)×5-(2)得

36sinxcosx所以23sinxcosx3sinx1sinx22 2因为x,所以sinx，则有2f3x1x，x22在这个题目中，容易想到利用x与xsin对称性，从而得到sinx的关系式，进而得到fx的解析式。够用对称思想解决，还在于函数定义域x,)是关于原点对称的，如果题目中自变量x例2已知yfyf分析：yfy轴对称，可以判断yfyfy轴对称，所以由对称性知yf证明：设,x2x2，则,x2x2yfffx2ff1f1,fx2fx2，f1fx2，f和偶函数的对称性画出简图，更加清晰，一目了然。对称思想在函数中的应用很普遍，在求函数的表达式、判断函数的单调性、及对称思想在数列中应用的例子。3.2对称思想在数列中的应用差数列或等比数列中的项关于某一项的对称性。年少的高斯准确快速地算出1234

1005050naa列前n项和公sn

1 n2

，这个公式体现了折中、均衡的特征;实际上，对于任意一个等差数列an如果mnpq则amanapaq;这一结论运用等差数列通项公式an1nd就可以得证;这是等差数列中两项的情况在三项、四项、

n项情形下这种对称性依然成立即若nkm1nk

mkn2

nk则m m ma a m m m1 2 3

a aa amn n nmn n n

a成立3.2.1数列的对称性性质1一般地，在数列中，如果某项an的前后两项与an之间的距离相等，即它们之间的关系可以表示为：ana、ana，如果该数列是等差数列，则有anaananana也可以表示为2ananaana如果该数列是等比数列，则有

anaan

anana也可以表示为a2nanaanaa2性质2果mnpq，则在等差数列中，有amanapaq在等比数列中，有amap性质3如果m1

mkn2

nk，在等差数列中，则有m m ma a m m m1 2 3

a aa aamn n nnk mn n nn在等比数列中，则有

m m ma m m m1 2 3

mn n nnamn n nnk 1 2 3 k性质4如果n2n4

nkkm，则在等差数列中，有nnaann1 2

aann3 4nn

a kanmknm在等比数列中，有

a1

an2

a3

an4

ank

kamk3.2.2数列对称性在题目中的应用例3在等差数列an中，a258，求cos3a7值解法一：由等差数列的性质得则a5

，所以3

a2a5a8a3a7则有

2a5

3cos3解法二：由等差数列求和公式得

a712a2581d14d17d112d14d那么有4d

，所以3a3a7所以

1

2d1

6d

8d1

4d3

acos13 7 3 2例4已知数列an是等比数列且a4a72，5a68，110的值为多少?解法一：由等比数列的对称性:mnpq

amap及题目中的条件an是等比数列，4756，得a4a75a68联立两个等式有a724，解得或4

,所以q31或q32

2a4 62

44

1当q31时，q3a4q

1 2

2 2当q3时，aa

a4aq6222271 10 q3 4 2综上所述，。解法二：因为a4a72，5a68，所以aq3aq6aq31q3a

1q321 1 1 4（1）aq4aq5a2q9aq32q3a2q381 1 1 1 43 8

（2）

8 2 2 2 4q

2

a41 2aa

2a480，a44

4

q31 3 2解得a4或a44，所以

或4

,从而得 或q22a4 62

44

1当q31时，q3a4q

1 2

2 2当q3时，aa

a4aq6222271 10 q3 4 2所以，。例3和例43和例4时都用了两种不3中解法一运用等差数列对称性质解题，解法二运用等差数列求4中，解法一运用等比数列对称性质解题，解法二运用等比数解法二相对来说就比较繁琐了，所以运用对称思想解题可以让问题变得更简单，解题过程更简洁。3.3对称思想在数式中的应用例5已知二次函数fax22xc的值域为a c 最小值。解法一：对称法

c21

a212 2 由二次函数fax2xc的值域为知44ac00，即 ，1由式子 a ca c a 由式子 a c和 的结构知和对称， 取得最小值时，必有c21

a21

c21

a21ac成立，则有ac1，当ac1时，a c 1为所求的最小值。解法二：常数代换法

c21

a210由题目条件知44ac00，即1

，所以ac2

ac2。所以a c a c a c c21

a21

c2ac

a2accca2c2 c

a2c22ac2ac

2 1ac当且仅当ac1时取等号。 中a c a和c 中c21

a21 进数代换法，比较常规的方法，但是解题过程比较繁琐，需要对a c 进c21

a212 2 2 2 2 2 0。例6设x,y,zR，求证：yxz 0。zx

xy

yz2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2证明：令Ayxzyxz yzzxx证明：令A ，B zx

xy

yz

zx

xy

yz则有PAGEPAGE11y2x2

z2y2

x2z2

y2z2

z2x2

x2y2AB

zx

xy

yz

zx

xy

yzy2x2

y2z2

z2y2

z2x2

x2z2

x2y2 zx

zx

xy

xy

yz

yzz0y2x2

z2y2

x2z2

y2z2

z2x2

x2y2AB

zx

xy

yz

zx

xy

yzy2x2

x2y2

z2y2

y2z2

x2z2

z2x2 zx

yz

xy

zx

yz

xyyxyx2z

zyzy2x

xzxz200y所以2A0，则A0。2 2 2 2 2 2这个题目利用多项式yxzyxz 这个题目利用多项式 zx

xy

yz2 2 2 2 2 2之对称的多项式yzzxxy 之对称的多项式 zx

xy

yz出结论。在这个题目的证明过程中，对称思想起到了关键的作用。3.4对称思想在解析几何中的应用例7已知圆C位于抛物线x22y与直线y3图象的边界），圆C半径的最大取值是多少？C的半径取得最大值，那么圆C和抛物线x22y以及直线y3ar，因为圆C和直线y3相切，所以圆的半径r3a，因为圆和抛物线都是关于yy轴对称，根据题目条件建立方程组如下：x22yx2ya23a2化简这个方程组可得y26a90因为圆与抛物线的两个切点关于yy26a90有两个相同的实数根，所以b24ac 22a26ab24ac6解得r6

1。到两个切点的对称关系，进而简便解题。2 2例8已知椭圆方程为xy19 4所在的直线方程。解法一：设直线与椭圆的一个交点为1,1，由于P为弦的中点，由对称性知，直线与椭圆的另外一个交点为41,21则有1x219

y21142 21将两式相减并化简得9 48x1925这个方程可以改写为

（1）25（2）由（1）和（2）知点1,1和点41,21都满足方程8x9y25所以所求直线的方程为8x9y25。解法二：因为k，则直线的方程为y1由y1y49k2x292k4k2x36k220由韦达定理知又因为

x2

4k49k2解得k89

x24k 449k2所以直线方程为y188x9y259大，并且在化简的过程中容易出错。4运用对称思想解题的意义想解题的意义。生智力的效果。对称思想方法作为中学数学教学中的一种教学方法，能够吸引学生的注意力，提高学生学习数学的兴趣，进而能够改善中学数学教学的质量。结束语要对称用的好，问题便能解决好题简便。在今后的学习和工作中，我将继续研究对称思想在数学解题中的应用。参考文献[1]刘盛利.中学数学对称思想研究[D].内蒙古师范大学,2007.[2]江阳.金字塔与泰勒斯[J].小学生学习指导,2016(32):41-41.[3]赫尔曼•外尔.（冯承天,陆继宗译）[N].上海:上海科技教育出版社,2002.[4]宋乃庆.中国特色数学教育引领者——张奠宙先生[J].中国教育科学,2015(04):41-49.[5]代钦.中国传统数学中的美学思想方法研究之一[J].内蒙古师大学报(哲社汉文版),2005,34(4):56-61.[6]贾桂青.用对称思想解函数问题[J].中学生数理化:高中版,2004(5):19-20.[7]申祝平.奇函数和偶函数是相容概念[J].中学数学杂志:高中版,2001(6):18-19.[8]刘爱德,孙盛杰.奇偶函数及其性质研究[J].烟台师范学院学报:自然科学版,1999(4):315-318.[9]吴建涛.浅谈对称思想在数学解题中的应用[J].电子世界,2013(20):173-174.[10]刘盛利.对称思想方法在中学数学教学中的应用策略[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版),2007,20(8):120-122.[11]