分段函数及映射

细说分段函数(1)分段函数是一个函数,其定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.写定义域时,区间的端点需不重不漏.(2)求分段函数的函数值时,自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式.分段函数及应用(3)研究分段函数的性质时,应根据“先分后合”的原则,尤其是作分段函数的图象时,可先将各段的图象分别画出来,从而得到整个函数的图象.【例1】(2011·郑州高一检测)已知f(x)=则f(f(2))=()(A)0

(B)1

(C)2

(D)3【审题指导】对于分段函数求值问题,应先看清自变量的值所在的区间,再代入相应的解析式求解.【规范解答】选C.∵2>1,∴f(2)=-2+3=1≤1,∴f(f(2))=f(1)=1+1=2.【互动探究】题设条件不变,若f(a)=1,求a的值.【解析】∵f(a)=1,∴当a≤1时,由a+1=1,得a=0≤1,符合要求;当a>1时,由-a+3=1,得a=2>1,符合要求.综上所述,a=0或2.【误区警示】本题易出现不讨论而导致漏解的错误.【例】已知函数f(x)=

(-2<x≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域.【审题指导】此类含有绝对值的函数实际上是分段函数,解题时,首先将函数式化简,得出分段函数,再根据要求求解.【规范解答】(1)当0≤x≤2时,f(x)=

当-2<x<0时,f(x)=

∴f(x)=(2)函数f(x)的图象如图所示(3)由(2)知，f(x)在(-2,2］上的值域为［1，3).【变式备选】求函数y=|x-1|,x∈［-1,4］的值域.【解析】y=当1≤x≤4时,0≤x-1≤3,即0≤y≤3;当-1≤x<1时,0<1-x≤2,即0<y≤2.综上所述,y∈［0,3］1.映射与函数的区别与联系(1)相同点：①映射包括三要素：集合A，集合B，集合A、B之间的对应关系，函数也包括三要素：定义域，值域及二者之间的对应关系.映射的概念及运用②集合A到集合B的映射中，对于集合A中的任意一个元素a在集合B中都有唯一确定的元素b与之对应；在函数中，对于定义域中自变量x的每一个确定的值，在值域中都有唯一确定的函数值y和它对应.(2)不同点：①集合A到集合B的映射中，对于集合B中的任意一个元素b，在集合A中不一定有元素与之对应；在函数中，对于值域中每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；②映射中A、B可为任何非空集合，函数中A、B为非空数集.2.判断对应关系f:A→B是否为集合A到集合B的映射的方法(1)明确集合A、B中的元素.(2)判断A的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应.若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原像，集合A中的不同元素对应的像不相同.

函数与映射的概念的差异在于：“非空数集”和“非空集合”.【例2】(2011·吉安高一检测)设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},在图中能表示从集合A到集合B的映射的是()【审题指导】本题给出从集合A到集合B的几种对应关系图,需判断是否是映射，应紧扣映射的定义，要通过特殊元素举反例排除.【规范解答】选D.【变式训练】判断下列对应哪些是集合A到集合B的映射.(1)A=B=N*,对应关系f:x→y=|x-3|;(2)A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},f:x→y=x;(3)A=B=R,对应关系f:x→y=±. 【解题提示】依据映射的定义来判断.【解析】(1)当x=3时,y=0

N*,因此不是从A到B的映射.(2)当x=6时,y=3

B,因此不是从A到B的映射.(3)不满足“唯一性”,因此不是从A到B的映射.【典例】(12分)某市乘出租车计费规定:2公里以内5元,超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费,超过8公里以后按每公里2.4元计费.若甲、乙两地相距10公里,则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元?【审题指导】此类实际问题应首先读懂题意,抽象出数学模型,将实际问题转化为相应的数学问题求解.【规范解答】设乘出租车走x公里,车费为y元,………2分由题意得y=……7分即y=………………9分因为甲、乙两地相距10公里,即x=10>8,所以车费y=2.4×10-4.6=19.4(元).……………11分所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元.……………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】某工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂价是60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价降为51元?(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为p元,写出函数p=f(x)的表达式.【解析】(1)设每个零件的实际出厂单价降为51元时,一次订购量为x0个,则因此,当一次订购量为550个时,零件的实际出厂单价降为51元.(2)当0<x≤100时,p=60;当100<x<550时,p=60-0.02(x-100)=62-;当x≥550时,p=51.所以1.设f:A→B,则下列命题中,正确的是()(A)A中每一个元素在B中必有元素与之对应(B)B中每一个元素在A中必有元素与之对应(C)B中每一个元素在A中的对应元素唯一(D)A中不同的元素在B中对应的元素必不同【解析】选A.根据映射的定义可知,A中元素在B中必有元素与之对应,B中元素在A中可以无元素与之对应,若有元素与之对应,可不唯一.2.若A={2，4，6，8}，B={-1，-3，-5，-7}，下列对应关系①f：x→9-2x②f：x→1-x③f：x→7-x④f：x→x-9中，能确定A到B的映射的是()(A)①②

(B)②③

(C)③④

(D)②④【解析】选D.结合映射定义，对①和③x=2在f作用下B中无元素与之对应，故①③不能确定从A到B的映射.3.已知函数则f(2)+f(-2)=______.【解析】f(2)+f(-2)=0+(-2)2=4.答案:44.已知M={正整数},N={正奇数},映射f:a→b=2a-1,(a∈M,b∈N),则在映射f下M中的元素11对应N中的元素是______.【解析】∵2×11-1=21,∴M中的元素11对应N中的元素21.答案:215.化简f(x)=并作图求值域.【解析】f(x)=其图象如图所示由图象可知,f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).一、选择题(每小题4分，共16分)1.函数f(x)=则f(1)的值为()(A)1(B)2(C)3(D)0【解析】选D.f(1)=f(1-1)=f(0)=0.2.设集合A={a,b},B={0,1},则从A到B的映射共有()(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个【解析】选C.从A到B的映射有4个,如图所示:3.已知集合A中元素(x,y)在映射f下对应B中元素(x+y,x-y),则B中元素(4，-2)在A中对应的元素为()(A)(1,3)(B)(1,6)(C)(2,4)(D)(2,6)【解析】选A.由题意得即(4,-2)在A中对应的元素为(1,3).【方法技巧】确定象和原象的技巧(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言,A中的每个元素x,在f的作用下,在B中都对应着唯一的元素y,则y称为象,而x叫原象.(2)对于给出原象要求象的问题,只需将原象代入对应关系中,即可求出象;对于给出象,要求原象的问题,可先假设原象,再代入对应关系中得到象,而它与已知的象是同一个元素,从而求出原象;也可根据对应关系,由象逆推出原象.4.(2011·昆明高一检测)已知函数使函数值为5的x的值是()(A)-2(B)2或-(C)2或-2(D)2或-2或-【解析】选A.∵x2+1≥1,∴x2+1=5,x=±2,∵x≤0,∴x=-2.当x>0时，-2x<0,不合题意.二、填空题(每小题4分，共8分)5.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(4,2),则f(f(f(2)))=_________.【解析】由图象及已知条件知f(2)=0,即f(f(f(2)))=f(f(0)),又f(0)=4,∴f(f(0))=f(4)=2.答案：26.(2010·陕西高考)已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a=______.【解析】f(0)=2,∴f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,∴a=2.答案：2

三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知函数f(x)=求:f(1),f(-3),f(a-1)的值.【解题提示】对于求f(a-1),应先对a-1的范围讨论后再代入求值.【解析】f(1)=1×(1+4)=5.f(-3)=-3×(-3-4)=21.当a-1≥0,即a≥1时,f(a-1)=(a-1)(a-1+4)=a2+2a-3;当a-1<0,即a<1时,f(a-1)=(a-1)(a-1-4)=a2-6a+5.8.(2011·郑州高一检测)“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源,竟然到了严重制约我国经济发展,严重影响人民生活的程度.因为缺水,每年给我国工业造成的损失达2000亿元,给我国农业造成的损失达1500亿元,严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定每季度每人用水量不超过5吨时,每吨水费1.2元,若超过5吨而不超过6吨时,超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨,试计算本季度他应交的水费y(单位:元).【解析】由题意知,当0<x≤5时,y=1.2x,当5<x≤6时,y=1.2×5+(x-5)×1.2×2=2.4x-6.当6<x≤7时,y=1.2×5+(6-5)×1.2×2+(x-6)×1.2×4=4.8x-20.4.所以【误区警示】本题在5<x≤6和6<x≤7这两段易列错表达式而导致错误.【挑战能力】(10分)规定