单调性与最大（小）值函数的最大值最小值

第2课时函数的最大值、最小值喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值.观察下列两个函数的图象：yxox0图2MB探究点1函数的最大值【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.思考2

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则函数定义域内任意自变量x所对应的函数值f(x)与M的大小关系如何?【解答】

思考1

这两个函数图象有何共同特征？函数的最大值即是函数图象最高点的纵坐标！函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有________；（2）存在x0∈I，使得_______。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.f(x)≤Mf(x0)=M图1yox0xmxyox0图2m观察下列两个函数的图象：探究点2函数的最小值思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值.函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对任意的，都有________；（2）存在，使得_______.那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.f(x)≥Nf(x0)=N思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？对函数最值和值域的联系与区别2.区别：函数最大值首先应该必须是存在的某一个函数值，即存在使得.并不是所有满足的函数都有最大值M.例如所有的函数值都比2小，2是函数的最大值吗？1.联系：函数的最值和值域都是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小的函数值.分段函数也是如此。3、如果函数最值存在，一定是函数值域中的一个元素，函数的值域一定存在，而函数的最大（小）值不一定存在，若函数的值域是开区间，则单调函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间上的端点值就是函数的最值。

关键在于利用单调性求解函数的最值步骤为：（1）判断或证明函数的单调性；（2）计算端点处的函数值；（3）比较确定最大值和最小值；主题二、如何求函数的最值4、左增右减和左减右增例4.已知函数，求函数的最大值和最小值。解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2

单调性求最值所以，函数是区间[2,6]上的减函数.因此，函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程分为两个部分，先证明函数在[2，6]上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值.1．设二次函数f(x)=x2+4x-3，函数值f(2),f(1),f(-1),f(5)中，最小的一个是()A.f(2)B.f(1)C.f(-1)D.f(5)【解析】由题意知抛物线的对称轴为x=-2，函数f(x)=x2+4x-3在［-2,+∞)上是增函数，有f(-1)＜f(1)＜f(2)＜f(5).C2.函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是()A.a≥3B.a≤3C.a≥-3D.a≤-3D【解析】二次函数的对称轴为x=-2a

故只需-2a≥6,即a≤-33.函数y=x2,x∈［-1，2］的最大值为_______.【解析】函数y=x2在［-1,0］上为减函数，在［0,2］上为增函数.当x=-1时，y=1；当x=2时，y=4，所以函数y=x2在x∈［-1,2］上的最大值为4.4，，.1.函数的最值是函数在其定义域上的整体性质.2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函