基本不等式【新教材】人教A版（2019）高中数学必修(共30张)

第二章一元二次函数、方程和不等式第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式复习引入ab一类重要不等式如果用、分别代替结论中的、，替换之后我们又会得到了什么结论呢？

通常把上式写作探究:讨论：a,b取值范围“基本不等式”定理定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）算数平均数几何平均数两个正数的算数平均数不小于他们的几何平均数探究“基本不等式”的证明执果索因分析法探究“基本不等式”的几何意义CADEBab如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?BCADEabO思考OD为圆O的直径用a,b表示线段OD,CD

OD=______

CD=______

OD_____CD√ab≥“半径不小于半弦”定理小结例１.已知函数f(x)=x+

(x>0)，求函数的最小值和此时x的取值．例题讲解解：因为x＞０，所以当且仅当x＝，即x²＝１，x＝１时，等号成立，因此所求的最小值为２．基本不等式使用注意：一正二定三相等思考:例1条件改为x<0,还能按照刚才方法求解吗？分析：需要考虑x<0解：因为x<０，所以当且仅当-x＝-，即x²＝１，x＝-１时，等号成立，因此所求的最大值为-２．注意：此时只有最大值没有最小值=(x

+1)+

-11x+1

f(x)=x

+

1x+1=1，≥2(x+1)∙-11x+1当且仅当取“=”号.∴当

x=0

时，

函数

f(x)

的最小值是

1.x+1=

，即

x=0

时，1x+1解:

∵

x＞-1，∴x+1>0.∴例2.求函数

f(x)=x

+

(x＞-1)

的最小值.1x+1例题讲解凑配法练习:1.已知函数求函数的最小值

当x=3是函数有最小值6针对练习思维升华方法点拨配凑法,目的就是为了结构上满足“积”或“和”为常数寻常之路解题升华例题讲解例3已知x，y都是正数，求证：（１）如果积xy等于定值p，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２

；（２）如果和x＋y等于定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值．小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知

x，y

都是正数，P，S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时，取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时，取“=”号).14

利用基本不等式求最值配凑系数分析:

x+(1-2x)

不是

常数.2=1为

解:∵0<x<，∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤

∙[]22x+(1-2x)21218=.

当且仅当

时，取“=”号.2x=(1-2x)，即

x=

14∴当

x=时，

函数

y=x(1-2x)

的最大值是.14181.若

0<x<，求函数

y=x(1-2x)

的最大值.12针对练习2.已知x>0，y>0，xy=24，求4x+6y的最小值，并说明此时x，y的值．3已知x>0，y>0，且x+2y=1求的最小值.当x=6，y=4时，最小值为48针对练习例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?例题讲解例2、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？解：设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为，又设水池总造价为元，根据题意，得例题讲解

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变