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1.3.1函数的最值

观察下列两个函数的图象：图10x0xMy思考1:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？yx0x0图2M思考2:设函数f(x)=1-x2，则f(x)≤2成立吗？f(x)的最大值是2吗？为什么？思考3:怎样定义函数f(x)的最大值？

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么称M是函数f(x)的最大值，记作fmax(x)=M。思考4:函数f(x)的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数f(x)的值域是(a,b)，则函数f(x)存在最大值吗？思考5:函数f(x)=1-2x(x>1)有最大值吗？为什么？是否定义域为开区间的函数都没有最大值？图1y0x0xm

观察下列两个函数的图象：

xy0x0图2m思考1:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数f(x)的最小值？

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x∈I,都有f(x)≥m;

（2）存在x0∈I，使得f(x0)=m.那么称m是函数y=f(x)的最小值，记作：fmin(x)=m。思考2:如果在函数f(x)定义域内存在x1和x2，使对定义域内任意x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，由此你能得到什么结论？思考3:如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域一定是[a,b]吗？例1、函数f(x)=3x2-12x+5，在下列条件下，分别求出其最大值和最小值，并指出相应的x值：

①0≤x≤3；②-1≤x≤1；③x≤3；④x≥3。说明：闭区间上的二次函数最值可能在顶点处取得，也可能在端点处取得。当对称轴在区间之内时，一个最值在顶点处取得，另一个最值在端点处取得，且是离对称轴更远的端点；当对称轴在区间之外时，两个最值都在端点处取得。回顾：例3、练习、已知函数f(x)=。（1）作出f(x)图象并判断f(x)的单调性；（2）若关于x的不等式1-x>m(1+x)对任意x∈[0,1]恒成立，求实数m的取值范围。

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