构建几何模型 提升核心素养 论文

构建几何模型 提升核心素养——“多面体外接球”微专题教学的实践与体会摘 全国高考试题，围绕学生的弱点，分析总结几种常见模型，帮助学生贯通思维，构建知识体系，提升核心素养。关键词：多面体，外接球，模型引解题能力和数学素养。基本模型。通过对基本模型的分析，总结出问题解决路径和基本思维方法。一、学情分析运用能力较差。二、教学目标分析学方法。心素养。三、学重难点教学重点：会找几种常见模型的球心和截面。教学难点：能熟练灵活将较复杂的立体空间几何问题转化为平面几何问题。四、教学过程设计1.考点分析年份题型名称几何载体考查知识点2022，全国乙（理）选择题（9）球，四棱锥高2022，全国新高考I卷（理）选择题（8）球，正四棱锥体积的取值范围II选择题（7）球，正三棱台表面积2021，全国甲（理）选择题（11）球，三棱锥体积2020，课标全国卷I（理）选择题（10）球，三角形表面积2020，课标全国卷II（理）选择题（10）球，三角形球心到平面的距离2020，天津卷（理）选择题（5）球，正方体表面积分析：高考中主要以选择题和填空题为主。主要考查四种情形：（1）球的截面（2）棱柱与球（3）棱锥与球（4）棱台与球。解题方法的最主要关键解决思路是通过找球心和画截面，将一个复杂的立体几何问题转化为平面几何问题，结合投影知识和平面几何的知识求球的半径。2.四大模型模型一球的截面问题的基本方法，培养学生的空间想象力。心到截面的距离三者之间存在着如下关系：R2dR2d2平面几何问题。B,C为球O的球面上的三个点，圆O为ABC的外接圆，若圆O的面积为41 1ABBCAC解：由正弦定理得AB2rsin23

3,OO123,r2r2OO21模型二柱体与球

S64.推理能力核心素养。题型一：正方体的外接球几何问题转化为平面几何问题。方法：（1）正方体外接球球心的位置是正方体的几何中心位置。（2）正方体外接球直径等于正方体的对角线。（3）若正方体的棱长为a,则正方体外接球的直径为。（4）若长方体的长、宽、高分别为a，b，h，则长方体的外接球半径是a2a2b2h22 。例2：已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．设正方体的边长为a，则6a2Þ

a=3，其外接球直径为2R=

3a，V=4πR3=4π´27=9π故这个球的体积 3

3 8 2 ．题型二：直棱柱的外接球定球心。方法：（1）直棱柱外接球的球心是连接上下面两个任意多边形外心的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。例3：在直三棱柱ABCABC120则此三棱柱外接球的表面积为------由正弦定理得r

3,R

r21S16.模型三锥体与球的截面寻找球心的位置。题型一：正四面体的外接球长方体得问题。法1补成正方体方法：（1）正四面体外接球的球心是正方体外接球的球心；（2）正四面体外接球的半径是正方体外接球的半径。素养。法2勾股定理法解：由正四面体的对称性与球的对称性知球心在正四面体的高上。设外接球半径为R，正四面体的棱长为a.如图AD3a,AM2

3a,PM3

6a;3OM6aR,32,R2（6aR)2aR6.,3 3 4正棱锥的球心一定在它的高上，利用这个特殊性质得到射影定理法。法3 射影定理法APHPH,在RtAPM中，cosPAMAP AP PM,PHAP,即l22R.h(l为正四面体侧棱长，h为高，R为外接球半径）AP PM注意：射影定理法适用于侧棱相等即球心落在高线上的的棱锥。例4;2022全国新高考I卷选择题8（理科）已知正四棱锥的侧棱长为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）B．C．解法一：勾股定理法3.设正四棱锥的底面边长为2a,高为h.2a2(3h)2,且l22a2h2;6hl2,2a2l2h2.l正四棱锥得体积V1sh1l416.l3V'V' 3 2l(24l)54

9 324l2'0,当2

6l3'O,当l2

6时，V最大，最大值为64，3又l27，l3481.4所以答案选C.解法二：射影定理法3.设正四棱锥的底面边长为2a,高为h.l22R.h得l222a2h2;2a2l2h2.l正四棱锥得体积V1sh1l416.l3V'V' 3 2l(24l)54

9 324l2'0,当2

6l3'O,当l2

6时，V最大，最大值为64，3又l27，l3481.4所以答案选C.题型二：侧棱垂直于底面的三棱锥外接球由前面的引导，补全法还是比较容易想到的。方法：补成直棱柱，外接球的半径等于直棱柱外接球的半径。题型三：三条侧棱两两垂直方法：补全成长方体，外接球的半径就等于长方体外接球的半径。题型四：三组对棱分别相等这个需要教师引导，提示构建模型；借助模型找出边之间的关系。设出长方体的长宽高分别为a,b,c,ADBCx,ABCDy,ACBDz,a2x2b2y2 2 2 222ca22

z2

R)2

a2

b2

c2

xyz 2x2x2y2z28题型五:翻折模型的外接球教师直接展示模型，进行讲解方法：1.可以找两组线面垂直，垂足为三角形的外心，两个垂线交点即为外接球心如图，R2OH2HC21 1模型四棱台的外接球面垂直关系。R2r2OO2(r为ABC外接圆半径）1 1 1

111R2r2OO2(r为ABC外接圆半径）2 2 2

222OO2R2r2OO2(r为ABC外接圆半径）1 1 1

111R2r2OO2(r为ABC外接圆半径）2 2 2OO2例5：2022年全国新高考II卷（理）则该球的表面积为（）

3，其顶点都在同一个球面上，3.教学反思题的关键。针对本节课，笔者有以下几点思考：（1）注重图形的美学价值，激发学生的学习兴趣型的意识。（2）注重由高阶向低阶的转化，强化学生问题解决的策略意识如何准确作出截面图。（3）注重几何模型的类型分析，寻找问题解决的基本路径总结归纳是学习数学的一种重要技能，同时也是构建知识体系的重要途径，抓住问题的要点，把握主线，层层递进，步步深入，促进学生的深度学习。（4）注重知识的整合，提升知识的综合运用能力要提高学生综合运用知识的意识。（5）领悟问题解决的思想方法，发展基本的数学素养在学习分析各种数学模型时，引导帮助学生自己分析具体问题、解决问题。在探究解决现实问题能力的养成过程中要渗透模型思想、化归转化等数学思想，性。参考文献年第5期（上半月）：5-10.[2]尤新建.巧妙构造辅助函数年1231-3