方程的根和函数的零点

方程的根与函数的零点保山市第八中学于波函数与方程是一种重要的数学思想，也是高考重点考察内容之一．在学生已掌握二次函数的性质、函数零点存在性定理及导函数等知识的前提下，如何通过第一轮的复习使学生进一步强化对函数与方程互相转化的认识与理解，进而运用已有知识解决函数的零点、方程的根及有关参数讨论的问题，是第一轮复习阶段高中教师面临的核心问题．一．考情分析高考试题核心考点考察内容核心素养难度系数课标全国卷Ⅲ，15，5分函数与方程求三角函数在指定区间零点个数数学运算中课标全国卷Ⅲ，11，5分函数与方程已知零点个数求参数数学运算中课标全国卷Ⅰ，21，12分函数零点、导数应用、证明不等式函数零点求参数，证明不等式数学运算难近三年的全国卷中，基本都涉及函数的零点问题，内容涉及零点的存在性、零点个数、零点区间等，题型为选择题、填空题和解答题，难度中档或较难。高考试题对该部分内容考察的重要角度有两种：一种是找函数零点个数；另一种是判断零点的范畴．另外应当特别注意运用导数来研究函数零点的问题.二.基础回想1．函数的零点（1）定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．（2）零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是持续不停的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.（3）二分法：如果函数y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条持续不停的曲线，且f(m)·f(n)<0，通过不停地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的办法叫做二分法.（4）函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．（5）函数Fx=fx-g(x)的零点个数2．二次函数y=∆=Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数ya>0的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点方程f(x)=0的根x=x1x=x无实根函数y=f(x)的零点xx无零点3．二次函数零点的分布问题二次函数零点的分布即一元二次方程根的分布，普通为下面两个方面的问题：(1)一种区间内只有一种根；(2)一种区间内有两个根．由于我们在初中学过方程根的状况，有时能够根据鉴别式及根与系数的关系判断，但在多数状况下，还要结合图象，从对称轴、鉴别式、区间端点的函数值等方面去探究．具体解法以下表：设二次函数y=ax根的分布(m＜n＜p)图象满足条件一种区间只有一种根x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1＜n＜x2＜peq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＞0，,fn＜0，,fp＞0))一种区间有两个根m＜x1＜x2＜neq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,m＜－\f(b,2a)＜n，,fm＞0，,fn＞0))m＜x1＜x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,－\f(b,2a)＞m，,fm＞0))在(m，n)内有且只有一种根或f(m)·f(n)＜0或Δ＝0且－eq\f(b,2a)∈(m，n)或fm<0m<-或f三.考点分析考点一判断函数零点所在区间高考中对函数零点所在的区间的考察重要以选择题、填空题形式出现，体现了基本概念的灵活运用，难度不大.1.已知函数fx=lnx-(12A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：∵fx又f(1)＝ln1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(－1)＝ln1－2＜0，f(2)＝ln2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(0)＜0，f(3)＝ln3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(1)＞0，∴x0∈(2,3)，故选C．2.设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范畴．作图如右：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．3.(·北京东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)，\f(k＋1,2)))(k∈Z)内，那么k＝________.解：法一：（运用函数单调性）函数y=lnx∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝lneq\f(5,2)－1＜0，f(3)＝ln3＞0，∴f(x)的零点在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))内，则整数k＝5.法二：∵f′(x)＝eq\f(1,x)＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝lneq\f(5,2)－1＜0，f(3)＝ln3＞0，∴f(x)的零点在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))内，则整数k＝5.办法提炼1.判断函数零点所在区间的办法（1）解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程与否有根落在给定区间上来判断.（2）运用零点存在性定理进行判断.（3）数形结合画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间内与否有交点来判断.2.判断函数零点所在区间的三个环节(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断.(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数持续，则在该区间内最少有一种零点.考点二函数零点个数的判断高考中对函数零点个数的考察重要以选择题和填空题形式出现，体现了数形结合思想的运用，难度不大.1.求函数fx解析：办法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必然存在零点，又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一种零点．办法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一种交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一种零点．2.方程|x2－2x|=a2+1（a∈R+）的解的个数是______________。解析：根据a为正数，得到a2+1＞1，然后作出y=|x2－2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a2+1的图象与y=|x2－2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。∵a∈R+∴a2+1＞1。而y=|x2－2x|的图象如图，∴y=|x2－2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点。∴方程有两解。答案：2个点评：考察学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意运用数形结合的思想办法。3.(课标Ⅲ,15,5分)函数fx=cos⁡(3x解析本题考察函数与方程.法一：令f(x)=0,得cos⁡(3x+π6)=0,解得x=kπ3+π9(k∈Z).当k=0时,x=π9;当法二：画出函数fx=cos⁡(3x4.(·秦皇岛模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x＞0，,4x＋1，x≤0))的零点个数是________.解：当x＞0时，作函数y＝lnx和y＝xeq\s\up7(2)－2x的图象，由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0得x＝－eq\f(1,4)，综上，f(x)有3个零点．5.(·河南四月质检)已知函数fx5[x－f(x)]＝1在[－2,2]上的根的个数为()A．3B．4C．5D．6[解析]由于5[x－f(x)]＝1，故f(x)＝x－eq\f(1,5)；在同始终角坐标系中分别作出函数y＝f(x)，y＝x－eq\f(1,5)，的图象如图所示，观察可知，两个函数的图象在[－2,2]上有6个交点，故方程5[x－f(x)]＝1在[－2,2]上有6个根．选D.办法提炼1.直接求零点：令fx2.零点存在性定理：运用定理不仅要函数在区间a，b上是持续不停的曲线，且3.运用函数图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.考点三由函数零点求参数的取值范畴（或值）常规思路：已知函数的零点个数，普通运用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要精确，这种数形结合的办法能够协助我们直观解题．1.(课标全国Ⅰ理,9,5分)已知函数fx=ex,x≤0lnx,x>0，gx=A.[-1,0)

B.[0,+∞)C.[-1,+∞)

D.[1,+∞)答案

C本题重要考察函数的零点及函数的图象.g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数fx=ex,x≤0lnx,x>0与h(x当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a≤1,即a≥-1.故选C.2.(课标全国Ⅲ理,11,5分)已知函数fx=x2-2x+a(A.-12

B.C.答案

C由函数f(x)有零点得x2即(x-1)2令t=x-1,则上式可化为t2-1+ae令h(t)=1-t2et又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,因此a=1-023.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x＜2，,\f(3,x－1)，x≥2，))若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范畴是()A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)解析：画出函数f(x)的图象如图D16，观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1.故选D.答案：D4.若函数fx=eA.0,1eB.-∞,1e【答案】A【解析】f'x=-e-x+tx=0有两个正根，即t=xe-x有两个正根，令gx=xe-x，g故选：A．办法提炼1.函数零点的应用重要体现在运用零点求参数取值范畴，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范畴，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，运用两个函数图像的关系求解，这样会使得问题变得直观，简朴这也体现了数形结合思想的应用.2.已知函数有零点求参数取值范畴惯用的办法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建有关参数的不等式，再通过解不等式拟定参数范畴；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结正当：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．已知函数零点的个数求参数范畴的办法普通环节：考点四求函数的零点之和的问题1.(·天津模拟)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=QUOTElog12(x+1),x∈[0,1),1-|x-3|,x∈[1(A)1-2a (B)2a-1 (C)析:由于当x≥0时,f(x)=QUOTElog12(x+1),x即x∈[0,1)时,f(x)=(x+1)∈(-1,0];x∈[1,3]时,f(x)=x-2∈[-1,1];x∈(3,+∞)时,f(x)=4-x∈(-∞,1);画出x≥0时f(x)的图象,再运用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示;则直线y=a与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)-a=0共有五个实根,最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,由于x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),因此f-x=log12(-x+1),又f因此fx因此中间的一种根满足log21-x=a,即1-x=办法提炼求函数的零点(方程的根)之和问题,核心是作出其图象,运用对称性求和.考点五运用导数研究函数的零点与方程的根的问题1.画出下列函数的图像（1）fx=x(3)fx=xlnx（4）要点归纳：运用函数的单调性和极值画图，要特别注意函数值的分布（符号）状况。2.已知函数若有关的方程有5个相异的实根，则实数的取值范畴是（）解析：设t=t则t-1tt=1或t令ht=为方程的两根，则t10<t1由题意知h0>03.（全国Ⅱ卷理21．（12分））已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一种零点，求．【解析】（1）当时，等价于，设函数，则，当时，，因此在单调递减，而，故当时，，即．（2）设函数，在只有一种零点当且仅当在只有一种零点．当时，，没有零点；当时，．当时，；当时，．在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一种零点；③若，即，由于，因此在有一种零点，由（1）知，当时，，因此．故在有一种零点，因此在有两个零点．综上，在只有一种零点时，．4.已知函数，.（1）若直线是曲线与曲线的公切线，求；（2）设，若有两个零点，求的取值范畴.【答案】（1）或；（2）.试题解析：对函数求导，得，对函数求导，得。设直线与切于点，与切于.则在点处的切线方程为：，即.在点处的切线方程为：，即.这两条直线为同一条直线，因此有由（1）有，代入（2）中，有，则或.当时，切线方程为，因此,当时，切线方程为，因此.（2）。求导：，显然在上为减函数，存在一种，使得，且时，，时，，所觉得的极大值点。由题意，则规定.由，有，因此，故.令，且。，在上为增函数，又，规定，则规定，又在上为增函数，因此由，得。综上，办法提炼运用导数拟定函数零点或方程根个数的办法(1)构建函数g(x)(规定g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化拟定g(x)的零点个数问题求解，运用导数研究该函数的单调性、极值，并拟定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解．(2)运用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后运用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．四.考向分析新修订的高中数学课程方案、课程原则更关注学生能力与素养的培养，新高考改革，将增强试题的灵活性与