四边形的难题

矩形例1已知：如图4-26所示，AABC中，AB二AC,ZBAC=90°,D为BC的中点，P为BC的延长线上一点，PE丄直线AB于点E,PF丄直线AC于点F.求证：DE丄DF并且相等.分析如图4-26，由已知AD丄CD并且相等，而求证是DE丄DF并且相等，所以应该有△ADE^^CDF.反之，如果证明了这两个三角形全等，问题也就解决了.在厶ADE和ACDF中，只要证明了AD=CD，AE=CF及ZEAD=ZFCD就可以了.但这三个相等关系都容易证明.证明如图4-26所示,AD=CD.由已知条件可知AEPF为矩形，所以AE=PF.而由于ZPCF=45°，ZCPF=45°，所以ZPCF=ZCPF，所以PF=CF，这就有AE=CF.最后ZEAD=135°=ZFCD，所以AADE空ACDF.于是ZEDF=ZADC=90°，从而有DE丄DF并且相等.例2已知：如图4-27,ABCD为矩形，CE丄BD于点E，ZBAD的平分线与直线CE相交于点F.求证：CA=CF.分析一如图4-27所示，由于CA，CF是ACAF的两边，因此要证明CA=CF,可试证ZCFA=ZCAF.由于CF丄BD，因此作AG丄BD于点G，则AG〃CF，从而ZCFA=ZFAG.于是问题转化为证明ZFAG=ZCAF.但已知AF是ZBAD的平分线，因此问题又转化为证明ZBAG=ZCAD.但证明这两个角相等不会有什么困难了.证法一如图4-27所示，作AG丄BD于点G,ZBAG与ZABD互余，ZCAD二ZADB与ZABD互余，所以ZCAD-ZBAG.而AF平分ZBAD，所以ZCAF=ZFAG.由于AG〃CF，所以ZCFA=ZFAG，从而ZCFA=ZCAF.所以CA=CF．分析二证明ZCFA=ZCAF还可以考虑用计算的方法进行.设ZCAD=ZBDA=a，则ZACE=90°-ZC0D=90°-2a.而ZCAF=ZDAF-ZCAD=45所以ZCFA=45°-a从而ZCFA=ZCAF.问题解决了．证明从略．4菱形例1已知：如图4-44所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB，BC的垂线，与AB，BC，CD，AD分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH为矩形．分析证明四边形EFGH为矩形有几个方法.而已知EFGH的对角线都通过AC,BD的交点O并且各垂直于菱形的两组对边，所以考虑通过EFGH的对角线的关系证明EFGH为矩形.由于0E丄AB,0H丄AD,所以立即看出OE=OH.这样EFGH明显是矩形了.证明如图4-44所示，由于OA平分ZA,并且OE丄AB,OH丄AD，由角平分线的性质知道OE=OH.同理，OE=OF,OF=OG,OG=OH.所以EFGH的对角线EG,FH互相平分并且相等，所以EFGH为矩形.例2已知：如图4-45所示，五边形ABCED中，AB=BC=CE=ED=DA，并且ZCED=2ZAEB.求证：四边形ABCD为菱形.分析在四边形ABCD中，已知AB=BC=AD，因此只要证明ABCD是平行四边形就可以了.在ABCD中，已知AD=BC,因此只要证明了AD〃BC问题就解决了.由于ZCED=2ZAEB，从而在ZAEB内部作射线EF,使ZAEF二ZAED,同时也就有ZBEF=ZBEC.而由于ED=DA，所以ZEAD=ZAED,从而ZAEF=ZEAD，这就有AD〃EF.至此，问题已经解决了.证明如图4-45所示，由于ZCED=2ZAEB,所以ZAEB=ZAED+ZBEC.因此可在ZAEB内部作射线EF,使ZAEF=ZAED,ZBEF=ZBEC.而由于ED=DA,所以ZAED=ZEAD.从而ZAEF=ZEAD.这样AD〃EF.同理BC〃EF,从而AD〃BC.既然AD〃BC，又已知AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形.而AB=BC,所以ABCD为菱形.§5正方形例1已知：如图4-55所示，是正方形ABCD内一点，且ZEAB=ZEBA=15°.求证：ACDE为等边三角形.分析一在厶CDE中，显然CE=DE,所以只要证明了CD=DE问题就解决了.但直接证明CD=DE有困难，因此可改证DA=DE.DA,DE是ADAE的两条边，因此可证明ZDEA=ZDAE•而证明这两个角相等也有困难，所以考虑加辅助线利用全等三角形证明.由于ZADE应该是30°，而ZDAE=75°，所以在厶DAE内取点F，使ZFDA=ZFAD=15°，这就容易证明厶FDA空△FDE,问题得到解决.证法一如图4-55A.，在厶DAE内部取点F,使ZFDA=ZFAD=15°，连结线段EF-在厶AEF中，ZFAE=60°,AE=AF（为什么？），所以△AEF为等边三角形，所以AF=EF.又ZAFD=150°,ZEFD=360°-ZEFA-ZAFD=360°-60°-150°=150°，从而ZAFD=ZEFD.在AFDA和AFDE中，FD二FD,AF=EF,ZAFD=ZEFD，所以△FDA^^FDE.从而DA=DE.于是DE=DA=CD,同理CE=CD,所以△CDE为等边三角形.分析二本例也可以用一种间接的方法证明.如图4-55B.，先在正方形内作一等边三角形CDE',只要证明了ACDE和厶CDE'重合就可以了.而要证这两个三角形重合，只需证明E与E'重合，要证明这两个点重合，只需证明射线AE与射线AEZ重合，射线BE与射线BE'重合，要证明这两组射线分别重合，只需证明ZBAEZ=ZABEZ=15°.但这很容易.证法二如图4-55B.,在正方形ABCD内作等边三角形CDE',连结线段AE',BE'.在厶DAE'中，ZE，DA=90°-60°=30XDA=DE7,所以ZDAE7=j(180°-30°)=75°,从而Z：BAE'=90°-75°=15°，从而射线AE与射线AE'重合.同理，射线BE与射线BE'重合，于是E与E'重合.这样，ACDE与厶CDE'重合，所以△CDE是等边三角形.点评证法二的方法如下：当要证明某个图形具有某种性质而又不易直接证明时，可先作出具有该性质的图形，然后证明所作的图形与原图形重合，即是同一图形.因而原图形具有该性质.这种间接的证明方法叫做同一法.例2已知：如图4-56A.，直线l通过正方形ABCD的顶点D平行于对角线AC，E为l上一点，EC=AC，并且EC与边AD相交于点F.求证：AE=AF.分析如图4-56A.，AE，AF是厶AEF的两边，因此要证明AE=AF，可考虑证明ZAEF=ZAFE.由已知条件EC=AC，如果求出ZACE的大小显然问题就解决了.在初等几何中见到的特殊角常是30°，45°，60°的角.从直观上看，ZACE可能是30°角.作EH丄AC于点H.如杲发现EH二|eC,我们的猜想就是对的.由于1//AC,所以l上每个点到AC上引的垂线段都相等，所以EHS于对角线ED的一半DO,即EH=|eC,从而ZACE=30°，问题得到解决.证明如图4-56，作DO丄AC于点0，作EH丄AC于点H，贝UEH=DO=|aC=|eC,ly^ZACE=30°.在厶ACE中，ZACE=30°，EC=AC，所以ZCEA=75°，ZCAE=75°.而ZCAD=45°，所以ZEAF=30°，所以ZAFE=75°.这样，ZAEF二ZAFE(=75°),从而AE=AF.

点评本例中，点E与A位于BD同侧.如图4-56B.，点E与A位于BD异侧，直线EC与DA的延长线交于点F,这时仍有AE=AF.请读者自己证明.例3已知：如图4-57,E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的一点,并且ZEAF=45°.求证：AAEF的高线AH=AB.AD图AD图4—57分析如图4-57,AH,AB分别是△AHE和AABE的边，这两个三角形应该全等.证明了它们全等，也就证明了AH=AB.这两个三角形都是直角三角形，并且有一条公共边，证明它们全等还缺少一个条件.应注意ZEAF=45°恰是直角的一半，所以ZFAD+ZBAE=45。是直角的一半.如果把AFAD绕顶点A旋转90°到△KAB的位置，那么新得到的AAEK和AAEF就各有一个45°角，很容易证明这两个三角形全等，进一步就有△AHE^AABE，问题得到解决.证明如图4-57，延长CB到K,令BK=DF.连结线段AK,则AABK^AADF,所以ZBAK=ZDAF,从而ZEAK=ZEAB+ZBAK=45°=ZEAF.在AEAF和AEAK中，AE=AE,AF=AK,ZEAF=ZEAK,所以△EAF^AEAK,所以ZAEF=ZAEK.在△人円已和厶ABE中，ZAEH二ZAEB,ZEHA二ZEBA二直角，AE为公共边，所以厶AHE^^ABE,从而AH=AB.6.判定正方形为什么不强调判定定理？答：在“四边形”这一章里，顺次学习了平行四边形、矩形、菱形的性质、判定定理，可是学到正方形时，书上就只有性质定理，而没有判定定理了.是遗漏了吗？不！这是因为正方形的判定方法有多种多样.先看看正方形与其他四边形的关系：边边形亠.'.:正边边形亠.'.:正要判定正方形，可以从平行四边形出发，证一组邻边相等且夹角为90°；可以从矩形出发，证一组邻边相等；可以从菱形出发，证一角为直角等等；或者干脆从定义出发，都可进行判定．只要搞清它们之间的关系，看清题目中的条件，就不会感到束手无策．例1已知：正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH是正方形．分析：这个图形是一种旋转型的图形，有四个直角三角形．如果能证出其中两个全等，那么就能证得周边四个直角三角形全等，从而证得四边形EFGH的四条边相等，且各个角是直角，即能得到结论．（证明略）例2求证：矩形各内角平分线（对角的平分线不在一直线上）所围成的四边形EFGH是正方形.分析：四边形ABCD是矩形，每个内角是90°，加上内角平分线的条件，可以得到Z1=Z2=……=Z8=45°，那么容易得到ZH、ZF、ZHEF和ZHGF是90°，四边形EFGH已经是矩形了.所以这题证明的最好方法是从证矩形出发再证一组邻边相等，即可证得结论.（证明略）例3已知：在四边形ABCD中，AC=BD，AC丄BD，E、F、G、H分别是各边中点.求证：四边形E