中考数学复习：中档题组合练(三)

中档题组合练(三)1．先化简：(eq\f(6x＋10,x＋1)＋x－1)÷eq\f(x2－9,x＋1)，然后在－3，－1，1，3中选择一个合适的数，作为x的值代入求值.解：原式＝eq\f(6x＋10＋x2－1,x＋1)÷eq\f(x2－9,x＋1)＝eq\f(（x＋3）2,x＋1)·eq\f(x＋1,（x＋3）（x－3）)＝eq\f(x＋3,x－3)，由题意，得x≠－3，x≠－1，x≠3，当x＝1时，原式＝eq\f(1＋3,1－3)＝－22．某校组织了八年级学生参加环保知识竞赛，为了了解学生对环保知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：请根据图中提供的信息解答下列问题：(1)根据给出的信息，将这两个统计图补充完整(不必写出计算过程)；(2)该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？(3)“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．解：(1)抽取的学生人数为：2÷5%＝40(人)，则达到“良好”的学生人数为：40×40%＝16(人)，达到“合格”的学生所占的百分比为：10÷40×100%＝25%，达到“优秀”的学生所占的百分比为：12÷40×100%＝30%，将两个统计图补充完整如下：(2)650×(5%＋25%)＝195(人)，答：估计成绩未达到“良好”及以上的有195人(3)画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2种，∴抽到甲、乙两人的概率为eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)3．(2021·菏泽)某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D.由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，∴∠BCA＝∠CAD－∠CBD＝60°－30°＝30°.即∠BCA＝∠CBD，∴AC＝AB＝200(海里).在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD·AC＝eq\f(\r(3),2)×200＝100eq\r(3)(海里).在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200eq\r(3)(海里).答：位于A处的济南舰距C处的距离是200海里，位于B处的西安舰距C处的距离是200eq\r(3)海里4．(2021·济宁)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(2，0)，点B(0，4)，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象经过点A.(1)求反比例函数的解析式；(2)将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)图象上的点(1，n)，求m，n的值．解：(1)过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠ACB＝90°，∴∠OBC＝90°－∠BCO＝∠ACD，在△BOC和△CDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BOC＝∠CDA＝90°，,∠OBC＝∠ACD，,BC＝CA，))∴△BOC≌△CDA(AAS)，∴OB＝CD，OC＝AD，∵C(2，0)，B(0，4)，∴AD＝2，CD＝4，∴A(6，2)，∵反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象经过点A，∴2＝eq\f(k,6)，解得k＝12，∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(12,x)(2)由(1)得A(6，2)，设直线OA的解析式为y＝tx，则2＝6t，解得t＝eq\f(1,3)，∴直线OA的解析式为y＝eq\f(1,3)x，将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y＝eq\f(1,3)x＋m，∵点(1，n)在反比例函数y＝eq\f(12,x)(x＞0)图象上，∴n＝eq\f(12,1)＝12，∵直线OA向上平移m个单位后经过点(1，12)，∴12＝eq\f(1,3)＋m，∴m＝eq\f(35,3)5．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于点F.(1)求证：四边形OBEC为矩形；(2)如果OC∶OB＝1∶2，OE＝2eq\r(5)，求菱形ABCD的面积．解：(1)∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC为矩形(2)由(1)得：四边形OBEC为矩形，∴OE＝CB，设OC＝x，则OB＝2x，∴BC＝eq\r(OC2＋OB2)＝eq\r(x2＋（2x）2)＝eq\r(5)x，∵BC＝OE＝2eq\r(5)，∴x＝2，∴OC＝2，OB＝4，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OB＝8，∴S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×4×8＝166．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E.(1)求证：∠ABD＝2∠C；(2)若AB＝10，BC＝8，求BD的长．解：(1)∵C是eq\x\to(AD)的中点，∴eq\x\to(AC)＝eq\x\to(DC)，∴∠ABC＝∠CBD，点F是AD的中点，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝2∠C(2)连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝6，∵C是eq\x\to(AD)的中点，∴OC⊥AD，∴OA2－OF2＝AF2＝AC2－CF2，∴52－OF2＝62－(5－OF)2，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中点，F是AD的中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF＝2.87．(2021·通辽)为做好新冠肺炎疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？(2)由于新冠肺炎疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的eq\f(1,3).由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶，15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？解：(1)设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为(x＋6)元/桶，依题意得eq\f(900,x＋6)＝eq\f(720,x)，解得x＝24，经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意，∴x＋6＝30.答：甲种消毒液的零售价为30元/桶，乙种消毒液的零售价为24元/桶(2)设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液(300－m)桶，依