基于行波理论的传输线动态演化过程研究

基于行波理论的传输线动态演化过程研究

1n结系统时间混沌的研究约瑟夫的结与josephson效应的发现具有重要的理论和应用价值。在此基础上，我们形成了科学分支的概念。Josephson效应本质上是一种非线性效应,因此Josephson结是一种非线性器件。自20世纪80年代以来,有关Josephson结电路系统中的非线性动力学行为受到了学者们的关注,他们对低维Josephson结电路系统中时间混沌的研究取得了很多有意义的成果。B.A.Huberman等人首先发现了交流激励下Josephson结中的混沌现象。随后,M.Octavio进一步详细分析了射频偏置下Josephson结中的分岔、混沌和间歇等行为。周铁戈等研究了电阻-电容-电感并联的Josephson结中的混沌行为,并提出了一个基于Josephson结的混沌通信方案。然而随着电路工作频率提高,特别是Josephson结经常工作于微波辐射的环境中,电路中互连线的长度与传输线上电信号的波长相比已不能忽略,这时就需要将互连线看作是具有分布参数的传输结构处理,即将电路考虑成一个无穷维系统。近年来,含传输线的无穷维电磁系统特别是系统中的非线性现象,引起了学者们的研究兴趣。因此,本文构造了一种含无损传输线的无穷维Josephson结电磁系统,运用行波理论经过严格的数学推导,得到了传输线左端点处电压正向行波分量的Poincaré映射及传输线沿线电压的离散映射关系。在此基础上分别在不加偏置和加偏置两种情况下,通过描绘传输线沿线电压的空间振幅变化图和时空行为发展图,分析了无穷维电磁系统中复杂的时空混沌行为。2传输线中波的传播t含无损传输线的Josephson结无穷维电磁系统模型如图1所示。这里的Josephson结采用电阻分路结,其归一化伏安关系如式(1)V=g(Ι)={√Ι2-1,Ι＞10‚-1≤Ι≤1-√Ι2-1‚Ι＜-1(1)由上式可知,Josephson结的伏安特性为一个分段非线性奇函数。对于均匀无损传输线,其满足的偏微分方程组的通解为v(x,t)=u+(t-x/c)+u-(t+x/c)(2)i(x‚t)=1RC[u+(t-x/c)-u-(t+x/c)](3)其中u+(t-x/c)、u-(t+x/c)分别表示t时刻x处电压的正向行波分量和反向行波分量,c=1/√L0C0为传输线中波的传播速度,RC=√L0/C0为传输线的特性阻抗。利用(2)、(3)式,再结合电路中传输线两端的边界条件,同时作变量代换(t→t+d/c),可得含无损传输线Josephson结电磁系统左端点处(x=0)电压正向行波分量u+(t)的局部Poincaré映射关系为u+(t)=f(u+(t-Τ))={λ⋅-(R2C+1)u+(t-Τ)-Ιs+RC√(2U+(t-Τ)+Ιs)2+(1-R2C)R2C-1‚u+(t-Τ)＞RC-Ιs2-λu+(t-Τ)‚-RC-Ιs2≤u+(t-Τ)≤RC-Ιs2λ⋅-(R2C+1)u+(t-Τ)-Ιs-RC√(2u+(t-Τ)+Ιs)2+(1-R2C)R2C-1‚u+(t-Τ)＜-RC-Ιs2(4)其中(T=2d/c)为传输线上波的传播周期,λ为左端点处电压的反射系数,其表达式为λ=u+(t)u-(t)=R-RCR+RC(5)3局部映射关系式t0传输线沿线电压、电流均同时随时间和空间而变化,需要用具有无穷多自由度的偏微分方程组来描述,这就给理论分析和数值计算带来了困难。为了便于分析含无损传输线Josephson结电磁系统中复杂的时空行为,将空间变量和时空变量作如下方式的离散化:将长度为d的传输线沿x轴方向分成N等份,每一等份长度为Δx=d/N,则各空间离散点(格点)的坐标为x=i·Δx,i=0,1,2,…,N;取离散的时间步长为Δt=Δx/c=T/2N,各离散点的时间坐标为t=n·Δt,n=0,1,2,…。假设已知电磁系统左端点电压正向行波分量在初始周期[-T/2,T/2]内的值u+(n0)(n0=0,1,2,…,2N-1),由局部映射关系式(4)可得u+(n+2N)=f(u+(n)),(n=n0+2kN,k=0,1,2,…)(6)根据式(2)、(5),可得传输线沿线电压v(i,n)在t≥0时的离散映射关系式为v(i,n)=u+(Ν-i+n)+1λu+(Ν+i+n)(i=0,1,2,⋯,Ν;n=0,1,2,⋯)(7)通过(6)、(7)式就可以分析传输线沿线电压在整个时空中的动态发展行为。4时空行为的u+n-pcr本文通过改变左端点处电压的反射系数λ来观察系统中的时空行为。在数值计算中,设RC=0.9Ω,选取传输线长度为N=50。为了直观地展示系统的时空行为,本文主要描绘传输线沿线电压的空间振幅变化图(space-amplitudeplot)和时空行为发展图(space-timediagram)。在运用(6)、(7)式计算每个格点在每次迭代的值之前,需要给定电磁系统左端点处电压正向行波分量在初始周期内的分布。不失一般性,选取u+(n)在初始周期内的分布为如图2所示的余弦波。下面分两种情况:直流偏置电流为零和不为零时,分析传输线沿线电压的复杂时空行为。4.1传输线沿线电压的时空行为当Josephson结无穷维电磁系统中的直流偏置电流Is=0时,从不同的初值出发,传输线左端点处电压正向行波分量随参数λ变化的分岔情况如图3所示。从图中可以看到,对不同的λ值以及从不同的初值出发,u+存在着周期1、周期2、…、混沌和周期吸引子共存、混沌吸引子共存等非线性动力学行为。当-1<λ<1时,电压正向行波分量局部映射u+处于周期1状态,这时传输线沿线电压v(i,n)的时空行为也是平庸的,即所有格点的状态都落在稳定不动点u+f=0上。下面着重分析│λ│>1时的情形,限于篇幅,仅给出几种典型情况下系统时空行为的仿真结果。图4、5所示分别是λ取不同值时,电磁系统传输线沿线电压的空间振幅变化图和时空行为发展图。当λ=1.1时,局部映射u+处于周期2吸引子共存状态,这时传输线沿线电压的时空行为如图4(a)和图5(a)所示。图4所示的空间振幅变化图是通过舍去一定的暂态过程的值,将传输线上各格点演化100个传播周期的状态值叠加在一起而得到。从图4(a)中可以看到,此时各格点也处于周期2状态,而且在空间上出现了扭结和反扭结现象。扭结的位置随u+在初始周期内的分布的不同而不同,如果u+初值的选取是随机的,那么扭结的位置也将是随机的。空间振幅曲线上出现锯齿状波动是由吸引子共存导致的,即各格点由于初值不同,其最终将会落入到不同的周期2吸引子上。图5(a)也显示了此时传输线沿线电压呈周期2状态。此后随着λ的增大,传输线沿线电压无论是在时间上还是空间上的行为都将越来越复杂。λ=3.2时,局部映射u+处于二带混沌吸引子共存状态,传输线沿线电压的时空行为如图4(b)和图5(b)所示。从图中可知,传输线上各格点电压随时间变化也呈现二带混沌状态,其混沌行为被限制在两个窄混沌带内。同理,吸引子共存现象导致在空间方向上格点的电压振幅在多个二带混沌区内变化。从图5(b)中可以看出,传输线沿线电压的波动幅度有所增大,系统在时间上和空间上的无序性开始体现出来了。随着λ进一步增大,二带混沌区不断扩大,直到最后并合成一带混沌。图4(c)和图5(c)所示是λ=5.0时,传输线沿线电压的仿真结果。此时电压正向行波分量局部映射处于一带混沌区,由图4(c)可知传输线上各格点状态也处于一带混沌区,而且电压振幅较之以前进一步增大。从图5(c)中看到,传输线沿线电压在时间和空间上的无序程度很高,系统进入了完全的时空混沌状态。以上分析的是λ>0时传输线沿线电压的时空行为。当λ=-4.5时,由图3可知,电压正向行波分量局部映射处于一带混沌吸引子共存状态,此时传输线沿线电压的时空行为如图4(d)和图5(d)所示。从图中可以看出,传输线上各格点状态也处于一带混沌区,只是由于格点的初值不同,其最终落入不同的混沌区。4.2传输线沿线电压的时空行为当加入电流偏置后,电磁系统原有的对称性会被破坏,会产生一些新的非线性现象。图6是Is=0.4A时,从不同的初值出发,传输线左端点处电压正向行波分量随参数λ变化的分岔情况。对比图3和图6可知,加入电流偏置后,在λ>0范围内不再出现吸引子共存现象,而且更值得注意的是,在λ<0时,映射存在着混沌吸引子与周期1吸引子共存的特性。下面分析在λ=0范围内,传输线沿线电压的时空行为。图7(a)所示是Is=0.4A、λ=-1.7时,传输线沿线电压的时空行为的数值仿真结果。从图中可知,传输线上一部分格点保持周期1状态,而另一些格点被限制在两个窄混沌区内运动,在空间上呈现出周期-二带混沌-周期…的间歇现象。导致这种现象的原因是,此时电压正向行波分量局部映射处于二带混沌与周期1吸引子共存状态,传输线上格点的初值一部分在周期1吸引子的吸引域中,另一部分则落入二带混沌吸引子的吸引域中。随着λ的减小,电压正向行波分量局部映射逐渐由二带混沌与周期1吸引子共存过渡到一带混沌与周期1吸引子共存。图7(b)是λ=-2.5时,传输线沿线电压时空行为的仿真结果。从图中可以看到,传输线沿线电压振幅有所增大,而且也出现了周期-一带混沌-周期的空间间歇现象。5偏置电流不为零对电磁系统的对称破坏本文通过对一类Josephson结无穷维电磁系统的建模与分析得知,在