解直角三角形的应用

ABCcba┌4.4解直角三角形的应用第1课时1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；3.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠

A＋∠

B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形.2.解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角知识回顾铅直线水平线视线视线仰角俯角在视线与水平线所成的角中，仰角和俯角视线在水平线下方的叫做俯角；视线在水平线上方的叫做仰角.）1）2或：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.图4-15AB动脑筋●●

某探险者某天到达如图所示的点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？EBCAD海平面

如图4-16，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD,垂足为点C.先测出海拔AE,再测出仰角∠BAC,然后用锐角三角函数的知识就可求出A、B两点的水平距离AC.4--16做一做

如图4—16，测得AE=1600m,仰角∠BAC=400，求A,B两点之间的水平距离AC(结果保留整数）∵BD=3500m,AE=1600m,AC⊥BD,∠BAC=400,∴A、B两点之间的水平距离AC约为2264m..40tantan0=-==ÐD\ACAEBDACBCBACABCRt中，在例1如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的D处，用仪器测得塔顶的仰角∠BDE=

25°，仪器距离地面高CD为1.7m.求上海东方明珠塔的高度AB(结果精确到1m).在Rt△BDE中，∠BDE=250,DE=1000m,解：答：上海东方明珠塔的高度AB为468m.ABCDαβ仰角水平线俯角

热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）【解析】Rt△ABC中，α=30°，AD=120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．练习【解析】如图，α=30°,β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为277.1mABCDαβ作业P1261，24.4解直角三角形的应用（2）(坡度与坡角）解直角三角形依据下列关系式BCbacA1、三边之间的关系：2、两锐角之间的关系：3、边角之间的关系：温故知新实际问题建立几何模型转化数学问题解直角三角形回顾上一节我们所学习的内容1、根据题意，画出图形；2、根据图形，写出已知；3、写出解题过程求得答案；4、作答。步骤用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：探究如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？右边的路BD陡些．如何用数量来刻画哪条路陡呢？

如图4-30，从山坡脚下点P上坡走到点N

时，升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l(即线段PM的长度)的比叫作坡度，用字母i表示，即图4-30

坡度通常写成1:m

的形式．图4-30中的∠MPN叫作坡角(即山坡与地平面的夹角).图4-30

显然，坡度等于坡角的正切.（即i=tanα)

坡度越大，山坡越陡.αlhi=h：l3.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.2.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝=tana显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.1.如图:坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i,即.坡度、坡角的概念以及坡度与坡角的关系小结*举例例2如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）i=1:2如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，因此解用表示坡角的大小，由题意可得i=1∶2因此≈26.57°.答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．从而（m）．你还可以用其他方法求出BC吗？1.如图，在坡屋顶的设计图中，屋顶的宽度l为10m，坡屋顶的高度h为3.5m，求斜面AB和坡角α（长度精确到0.1m，角度精确到1°）．解：由题意可知：△ABD为Rt△

，满足勾股定理，所以斜面AB=52+3.52≈6.1，tanα===0.7ADBD3.55α=350答：斜面AB的长为6.1m,坡角α为350.课堂作业P129A组第1题例3

一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60度方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上。已知在灯塔C的四周30km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？作业

1.如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向上，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向上。渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由．（参考数据3≈1.732）600300作CD⊥AB，交AB延长线于点D.设CD=xkm.解这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于30km．如果大于30km，则安全，否则不安全．分析在Rt△ACD中，

∵∴同理，在Rt△BCD中，∵∴因此，该船能继续安全地向东航行．解得又2.某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55°方向；B船说C船在它的北偏西35°方向；C船说它在A船的距离比它到B船的距离远40km.求A，B两船的距离（结果精确到0.1km).ABC550350解：∵∠CAB=90-55=35°，∠CBA=90-35=55°∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形．∴AC=AB•cos∠CAB=AB•cos35°，BC=AB•sin∠CAB=AB•sin35°.∵cos∠CAB=,sin∠CAB=ACABBCAB又∵AC-BC=40∴AB•cos35°-AB•sin35°=40解得：AB==≈162.9km40cos35°-sin35°400.8192-0.5736答：A，B两船的距离为1