空间向量的数乘运算

掌握空间向量的数乘运算．理解共线向量定理及推论．理解共面向量定理及推论．

空间向量的数乘运算【课标要求】【核心扫描】空间向量的数乘运算．(重点)共线向量及共面向量的应用．(重点、难点)向量的共面、共线与直线的位置关系．(易混点)1．2．3．1．2．3．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积____仍然是一个_____，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系.自学导引1．λa向量λ的范围方向关系模的关系λ>0方向______λa的模是a的模的___倍λ＝0λa＝___，其方向是任意的λ<0方向______相同0相反|λ|(3)空间向量的数乘运算律设λ、μ是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb②结合律：λ(μa)＝(λμ)a共线向量与共面向量2．共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做_________或平行向量平行于___________的向量叫做共面向量平行或共线向量同一个平面重合续表充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb推论如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使

＋ta①，其中a叫做直线l的_________如图所示．若在l上取

＝a，则①式可化为如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使

，或对空间任意一点O来说，有方向向量想一想：向量的平行(共线)具有传递性吗？提示不一定具有传递性，即若a∥b，a∥c，不一定有b∥c，但当a为非零向量时，平行(共线)的传递性成立，即若a≠0，a∥b，a∥c，则b∥c.共线向量定理的理解(1)对于空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.此定理可分解为以下两个命题：①a∥b(b≠0)⇒存在唯一实数λ，使得a＝λb，②存在唯一实数λ，使得a＝λb(b≠0)，则a∥b.名师点睛1．题型一空间向量的数乘运算【例1】规律方法用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则，平行四边形法则，将目标、向量逐渐转化为已知向量．【变式1】答案

A

题型二

向量共线问题【例2】规律方法判定两向量共线就是寻找x使a＝xb(b≠0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a＝xb，从而得a∥b.【变式2】(12分)如图所示，P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连结MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．题型三

向量共面问题【例3】【题后反思】利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．【变式3】在解决空间向量问题时，如用已知向量表示未知向量、判断四点共面等问题时，结合图形，以图形为指导不但事半功倍，更是迅速解题的关键！方法技巧数形结合思想与向量的综合应用【示