高中数学中的小概率事件+教学反思

高中数学中的小概率事件小概率事件的概念在概率论中我们把概率很接近于0，（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件，一般多采用0.01~0.05两个值，即事件发生的概率在0.01以下或0.05以下的事件（P≤0．05或P≤0．01），称为小概率事件，这两个值称为小概率标准。在正态分布中σ代表标准差,μ代表均值x=μ即为图像的对称轴。随机变量出现在期望减3倍标准差到期望加3倍标准差区间内的概率是0.9975，即3σ原则：数值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6526数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544数值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974可以认为，Y的取值几乎全部集中在（μ-3σ,μ+3σ)]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%，所以出现在此区间外的事件是小概率事件。小概率事件发生的概率很小，那么它在一次试验中实际几乎不会发生，在数学上，我们称这个原理为小概率事件原理。小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，例如，若事件A是小概率事件，但在一次或少数次试验中小概率事件A居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A不应该发生。小概率事件的应用直接应用小概率的临界值 解析：µ=0.1×2+0.2×6+0.4×10+0.2×14+0.1×18=10σ2=2×(82×0.1+42×0.2)+(10-10)×0.4=19.2µ+σ=10+4.38=14.38设10名乘客中有3名乘客候车时间超过15分钟的事件为A。P(X>14.38)=(1-0.6826)/2=0.1587P(A)=C103(0.1587)3(0.8413)7≈利用小概率事件与不可能事件的区别小概率事件几乎不可能发生，但这并不说明它不会发生，只要独立的试验次数无限增多，那么小概率事件就会发生，所以小概率事件不是不可能事件。例题：改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．解析：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为.（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知，事件C，D相互独立，且.所以，=0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6=0.52，.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得.答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.此题中就是对小概率事件的不同处理态度。根据小概率事件发生的概率极小，几乎不可能发生，但是现在发生了，那极有可能是样本出现了变化，因此答案1正确。而小概率事件不是不可能事件，他可以发生，因此答案2正确。小概率事件在假设检验中的应用 基于小概率反证法来研究样本间存在差异情的原因。而反证法的思路是先提出假设检验，然后运用适当的统计方法来求解该检验成立的概率。通过概率计算判断，如果概率很小，是一个小概率事件，那么提出的假设就不成立。例题：为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验，试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分﹔若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。1.求X的分布列;2.若甲药、乙药试验开始时都赋予4分pi，(i=0,1,…,8）表示“甲药的累计得分为i最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p1=0,p8=1，pi=api-1+b其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假设α=0.5，β=0.8.(i)证明:{pi+1-pi}(i(ii）求p4，并根据p4的值解