（大学课件）中心极限定理与参数估计：4.5

§2参数的区间估计区间估计：用样本来确定一个区间，使这个区间以很大的概率包含所估计的未知参数，这样的区间称为置信区间。置信区间与置信水平：设总体X的分布中含有未知参数θ,若由来自总体X的一个样本确定的两个统计量：=（X1，X2，…，Xn），=（X1，X2，…，Xn）对给定的α(0＜α＜1)，

则称随机区间（，）是θ置信区间，

及分别称为置信下限和置信上限，1-α称为置信水平。满足P{＜θ＜}＝1－α(1)显然，置信区间不唯一。

说明:(1)式表示（,

）包含未知参数θ的真值概率为1－α,如α=0.05时，若从总体中抽得容量相同的100个样本，则在确定的100个置信区间中将有95个包含θ的真值，不包含θ真值的区间只有5个。绝不能理解为θ的真值落在(,)内的概率为1－α！

如何求未知参数的置信区间呢？下面通过一个例子阐述其方法。引例.设总体Ｘ～N(μ,σ2),σ2

已知。X1,X2,…，Xn是一个样本，对于给定的置信水平1-α,求μ的置信区间。如σ2＝0.15,样本的一组观测值为，3.1,3.4,2.7,2.9,3.3,2.9,3.0,3.1,2.8（n=9),取α＝0.05,求出置信区间。是μ的一个点估计,μ的区间估计应为在附近的

的一个区间,如何得到这样的区间？自然回想到构造含有和待估参数μ的样本函数，且其分布已知(应与μ无关)。，对于给定的置信水平1-a，通过下式对于给定的数值得置信区间为：（2.94,3.10)分析:

因确定U的范围，确定μ的范围，即求置信区间的方法：１．选取统计量。找样本（Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn）的一个函数

U（Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn;θ）并且U只含所求置信区间的未知参数θ，不含其它未知参数．且分布与θ无关，此函数一般可从θ的某个点估计经过变换得到．２．确定分位点。对于给出的置信水平1-α，确定U的分位点．注意，在确定函数U时，确保U的分布有表可查．３．变换不等式。利用不等式变形得到未知参数θ的置信区间．特别指出：求未知参数θ的置信区间所采用函数

U（Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn;θ）与将来进行相关假设检验时所采用的统计量为同一函数．1.2.1－αx0Φ(x)附：常用统计量及分位点的确定方法若X~N（μ，σ2）:X1，X2，…，Xn若X~N（μ，σ2）:X1，X2，…，Xn，有故对给定的置信概率1－α，有由此可得总体均值μ的1－α置信区间为：一、单个正态总体均值μ与方差σ2的区间估计1、σ2已知，μ的1-α置信区间故对给定的置信概率1－α，有由此可得总体均值μ的1－α置信区间为：例1.为估计35亩大豆的产量，以200米2面积上的大豆作为总体的一个个体，从中任意抽得24个个体，分别测得大豆的产量如下（单位：千克/200米2）：σ2未知，算得：=41.125，S=6.04，n-1=23，故200米2面积平均产量的0.95置信区间为：50,42,32,46,35,44,45,38,35,54,42,36,41,34,39,50,43,36,34,49,35,46,38,43试估计大豆产量的范围（假定大豆产量按正态分布），置信概率1－α=0.95查表得：

解:α=0.052、σ2未知，μ的1-α置信区间4.μ未知，σ2的1-α置信区间σ2的1-α置信区间为：3.μ已知，σ2的1-α置信区间条件统计量置信区间μσ2σ2已知μ已知μ未知σ2未知单个正态总体期望与方差的1-α置信区间(小结)2.152.102.122.102.142.112.152.132.132.112.142.132.122.132.102.14试求零件长度标准差σ的置信水平为0.95置信区间(设总体为正态)．σ2的0.95置信区间为查表得：α=0.05，n=16．σ的0.95置信区间为=(0.0127,0.0265)解：此题μ未知，算得x=2.15，S2=0.000293，

例2.从车床加工的一批零件中随机抽取16个进行试验，测得零件长度如下（单位：cm)

设总体X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ2

2)相互独立则分别是来自总体X和Y的样本（1）（2）若σ12＝

σ22＝σ2μ1-μ2σ12/σ22二、两个正态总体均值差及方差比的1-α置信区间2.σ12，σ22均未知，但在大样本条件下μ1-μ2的1-α置信区间由得在n1,n2都很大(一般要求n1,n2,≥50)时，我们可以用σ12,σ22

的无偏估计量S12,S22来代替σ12,σ22进行计算，即可得到大样本时μ1-μ2的1-α置信区间为

1.σ12、σ22均已知时，μ1-μ2的1-α置信区间3.σ12，σ22均未知，但σ12=σ22=σ2时，μ1-μ2的1-α置信区间由得查表得：该蛋白质含量满足正态、等方差条件，试估计μ1－μ2所在的范围(取α=0.05)．甲：12.6,13.4,11.9,12.8,13.0;乙：13.1,13.4,12.8,13.5,13.3,12.7,12.4解：算得=12.74，s12=0.308；=13.029，s22=0.166。μ1－μ2的0.95置信区间为：例3.在甲、乙两地抽取同一品种小麦籽粒的样本，测得蛋白质含量为：则(3)(4)二、两个正态总体均值差及方差比的1-α置信区间

设总体X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ2

2)相互独立分别是来自总体X和Y的样本4.μ1、μ2均未知时，方差比的1－α置信区间由由及P{F1-α/2＜F＜Fα/2}=1-α及P{F1-α/2＜F＜Fα/2}=1-α得得3.μ1、μ2均已知时，方差比的1－α置信区间

=0.5419,=0.6065得/的0.95置信区间为：求方差比/的0.95置信区间（设为正态分布）。解：已知nA=nB=10，=0.5419，=0.6065。=（0.222,3.601）查表得由α=0.05，例4.有两位化验员A、B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定。两个正态总体均值差与方差比的1-α置信区间(小结)条件统计量