（大学课件）概率统计：条件概率与事件的独立性

§1.4

条件概率与事件的独立性1.4.1条件概率1.4.2独立性§1.4.1条件概率

实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率。计为

例1

一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的）？

解

观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空间

={(男,男)、(男,女)、(女,男)、(女,女)}．设A={两个小孩中至少有一个男孩}，B={两个小孩中至少有一个女孩}，从而A={(男,男),(男,女),(女,男)}，B={(女,女),(男,女),(女,男)}.

显然，P(A)=P(B)=3/4．现在B已经发生，排除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的

缩小到现在的

B=B，而事件相应地缩小到={(男,女)，(女,男)}，因此

定义1

设A，B为随机试验E的两个事件，且P(B)＞0，则称一、条件概率为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概率.注：条件概率与普通概率有相类似的性质：如：若BC＝Φ，则P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A).

例2

设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率？

解设A={活到20岁}，B={活到25岁}，

则P(A)=0.8,P(B)=0.4.于是所求概率为

由于A

B，有AB=B，因此P(AB)=P(B)=0.4，

关于条件概率的计算，往往采用如下两种方法：

(1)在缩减的样本空间上直接计算。

(2)利用公式计算。

例3

甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求：

（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；

（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.

解

设A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}，P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(AB)=0.12，则二、乘法公式若Ｐ(B)>0,则P(AB)=P(B)·P(A|B)

定理1

若P(A1A2…An-1)>0，则

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)

P(A3|A1A2)

…P(An

｜A1A2…An-1).证反复应用两个事件的乘法公式，得到若Ｐ(A)>0,则P(AB)=P(A)·P(B|A)

例4

今有一张足球票，n个人都想得到，故采用抽签的办法分配这张票，试利用乘法公式说明每人得到足球票的概率都是1/n．

解将外形相同的个标签让个人依次抽取，事先将足球票放在某标签中．记Ai={第i人抽到足球票}，则．由公式得

例5

一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率．

解

设A={三次取出的均为黑球}，Ai={第i次取出的是黑球}，i=1,2,3，则有A=A1A2A3．由题意得故

该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型．上述概率显然满足不等式P(A1)＜P(A2|A1)＜P(A3|A1A2).

这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大．所以，卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型．1.4.2事件的独立性一、事件的独立性

一般地

P(A|B)≠P(A),即B的发生，会对A的发生产生影响，但在某些情况下有Ｐ(A|B)＝P(A)，如：设盒中3个白球，3个红球，从中取球两次，每次一个，就a)不放回取样;b)放回取样;求下列事件的概率：

(1)第二次取得红球的概率；

(2)在第一次取得白球的条件下，第二次取得红球的概率

解设Ａ＝{第一次取得白球}，Ｂ＝{第二次取得红球},a)不放回取样

(1)P(B)=2/5,(2)P(B|A)=2/4,

P(B)≠P(B|A);b)放回取样

(2)

P(B)=2/5,(2)P(B|A)=2/5,

P(B)＝P(B|A).一、两个事件的独立性1.定义设A、B二事件，如果满足等式

P(AB)=P(A)P(B),则称A、B为相互独立的事件。由定义得：必然事件

及不可能事件与Φ任何事件都相互独立。2.性质1)若P(A)>0,P(B)>0,

则A和B独立P(B|A)=P(B);P(A|B)=P(A)。所以和B相互独立．

例6

分别掷两枚均匀的硬币，令A={硬币甲出现正面H}，B={硬币乙出现反面T}，试验证A、B相互独立．

解样本空间

={HH,HT,TH,TT}共含有4个基本事件，它们发生的概率均为1/4．而A={HH,HT}，B={HT,TT}，AB={HT}，故有P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A)P(B)

，所以A、B相互独立．

从直观上看，例6中的事件A与B显然是相互独立的，因为硬币甲出现正面与否对硬币乙是否出现反面毫无影响．在实际应用中，人们常常根据事件的实际意义去判断事件的独立性．一般地，若由实际情况分析，A、B两事件之间没有关联或关联很微弱，就认为它们是相互独立的．例如A、B分别表示甲、乙两人患感冒,如果甲在上海，乙在重庆，就认为A、B相互独立，若甲、乙两人同住一个房间，那就不能认为A、B相互独立了．下面的定理2是显然的。

定理2

设A、B是两事件，且P(B)＞0，则A、B相互独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A)．

定理3

若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立．与B；A与；与．证

由于，，且A与B独立，所以故与B独立．由A与B的对称性，可见A与也相互独立．对于A与重复应用上述证明方法，可得与亦相互独立．

事实上，在四对事件A与B

、与B、A与、与中，只要有一对相互独立，则其余三对也必定相互独立．

值得注意的是，事件A、B相互独立与A、B互不相容有着本质的区别。不相容意味着A发生就不能B发生，或B发生就不能A发生，因此A发生与否跟B发生与否不是无关的，恰恰是极其有关；当P(A)＞0，P(B)＞0时，互不相容一定不相互独立，相互独立一定不互不相容；只有当P(A)和P(B)中至少有一个为0时，A和B才可能既相互独立又互不相容．

例7

甲、乙两人各向一架敌机炮击一次。已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5。求敌机被击中的概率。

解

设A={甲击中敌机}，B={乙击中敌机}，C=目标被击中。由于

C=A＋B，且A，B独立得

=1-0.4×0.5=0.8或P(C)=P(A＋B)=P(A)+P(B)－P(AB)

=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=0.6+0.5-0.6×0.5=0.8

例8

有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，从两批种子中各随机地抽取一粒，求：

（1）两粒都能发芽的概率；

（2）至少有一粒种子能发芽的概率；

（3）恰好有一粒种子能发芽的概率。

解

设以A、B分别表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子发芽这一事件，则所求的概率为

由于P(A)=0.8，P(B)=0.7，且A、B相互独立，故有

P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56，二、多个事件的独立性1.3个事件的独立性的定义三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式则称三事件A、B、C相互独立。

如果A、B、C仅满足上式中的前三个等式，则称三事件A、B、C两两相互独立。事件两两独立，不一定相互独立。2.

n个事件的独立性的定义

定义3

n个事件A1,A2,…,An，如果对于任意k（1＜k≤n），任意1≤i1＜i2＜…ik≤n，满足等式则称A1，A2，…An是相互独立的事件。要