专题四万有引力与天体运动

专题四万有引力与天体运动主备人陈世有组长徐健主任孙重社课时专题四万有引力与天体运动时间20１1年４月考情分析预测1．近年来各地高考考查的重点是人造卫星问题，几乎年年都考,且以选择题的形式出现居多。２．由于近年来各国空间科技力量的竞争日趋激烈,特别是我国“神舟”系列飞船、“嫦娥"“北斗”系列卫星的成功发射和接收，使万有引力、天体运动、现代航天技术成为一个特别的考查热点。因此201１年高考该讲的内容仍将是热点,特别是人造卫星问题更要引起重视,题型仍为选择。主干知识整合一、万有引力定律内容自然界中任何两个物体都相互吸引.引力的大小与物体的质量ｍ1和m２的乘积成正比,与它们之间距离r的二次方成反比公式Ｆ＝Gｅｑ\f（ｍ1m2，ｒ2），其中引力常量G=6．67×10-1１Ｎ·m2／ｋg２适用条件适用于质点或均匀球体之间。ｒ为质点间、球心间的距离在现实生活中，一般两个物体之间的万有引力较小，可不作考虑；在天体运动中,由于物体的质量很大,导致万有引力很大，万有引力在天体运动中起决定性的作用。二、天体运动1．在研究人造卫星等天体运动时，进行了以下近似：中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体做匀速圆周运动的向心力.2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系可见，卫星运行轨道半径r与该轨道上的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在着一一对应的关系，若r、v、ω、Ｔ、a中有一个确定，则其余皆确定，与卫星的质量无关,如所有同步卫星的r、ｖ、ω、T、a大小均相等.3.宇宙速度（1）第一宇宙速度：又叫环绕速度，是发射地球卫星的最小速度，也是近地卫星的速度,还是卫星围绕地球圆周运动的最大运行速度，大小为7．９kｍ/s.(2）第二宇宙速度:又叫逃逸速度，是人造卫星挣脱地球束缚而成为一颗太阳的人造小行星的最小发射速度，大小为１1。２km/s.(3）第三宇宙速度:是人造卫星挣脱太阳的束缚、而成为一颗绕银河系中心运行的小恒星的最小发射速度，大小为１6。7kｍ／ｓ。4。“双星"“双星”是两颗相距较近的行星，它们之间的万有引力对两者运动都有显著影响,而其他天体的作用力影响可以忽略。它们之所以没有被强大的引力吸引到一起而保持一定的距离不变，是因为它们绕着连线上的共同“中心"以相同的角速度做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力。5．“黑洞"“黑洞”是近代引力理论预言的一种特殊天体，它的密度十分巨大，任何物体都不能脱离它的束缚，即使光子也不能射出。已知逃逸速度(即第二宇宙速度）是环绕速度的eq\r（2）倍,即“黑洞”的第二宇宙速度ｖ＝eq\r（\f(２GM,Ｒ))≥c,故一个质量为M的天体，若它是“黑洞”，则其半径R应有R≤eq\f(2GM，ｃ2）。要点热点探究►探究一天体质量和密度的估算问题１。已知环绕天体的周期Ｔ和半径ｒ，求中心天体的质量等由Gｅq\ｆ(Ｍm，ｒ２)=ｍeq\f（４π2,T２）ｒ可知：只要知道环绕天体的周期T和半径ｒ,就可求出中心天体的质量M=eq\f（４π２ｒ３,GT2)。设中心天体半径为R，则V＝ｅq＼ｆ（4，３)πR3，其密度为ρ=ｅq＼f(Ｍ，V），联立解得：ρ＝eｑ\f(３πr3，GT2R3）.若测得中心天体的近表卫星周期T,此时r＝Ｒ，上式变为ρ=eq\f(３π，GT2）。可见只需要测得中心天体近表卫星的周期,就可以得到中心天体的密度.2.已知星球表面的重力加速度g,求星球质量由在星球表面附近，重力近似等于万有引力，即mg=Ｇeq＼ｆ(Mm，R2)（黄金代换公式)，可求得星球质量Ｍ＝eq＼f（gＲ2,G），或星球表面的重力加速度g=ｅq＼f(GM，R2）.例1［2０１０·安徽卷］为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于２01１年1０月发射第一颗火星探测器“萤火一号".假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和Ｔ2。火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星的自转影响,引力常量为G.仅利用以上数据,可以计算出（）A。火星的密度和火星表面的重力加速度B。火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C.火星的半径和“萤火一号”的质量D。火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力点评:专题四万有引力与天体运动主备人陈世有组长徐健主任孙重社课时万有引力与天体运动时间2０11年4月变式题[２0１0·北京卷]一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知引力常量为G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为(）A．eq\ｂ\lc\（＼ｒc\)(\a\vs４＼al\ｃo1(\f(４π，3Gρ)））eq\f（１，2)Ｂ．ｅｑ＼b\ｌｃ\（\rc\)(\ａ\vs4\al\co1（\f(３，4πGρ））)ｅq\f(1,２）C.eq\ｂ＼lｃ\（\ｒｃ\)（＼ａ\ｖs4\aｌ\ｃo1(\ｆ(π，Gρ））)eq＼f(１,２）Ｄ.eq＼b\lc\（＼ｒc＼）(＼ａ\vs4\ａl\co1(\f(3π,Ｇρ）)）eｑ＼f(１，２）►探究点二航天器的变轨问题提供天体做圆周运动的向心力是该天体受到的万有引力F供=Ｇeq\f（Mｍ,ｒ２),天体做圆周运动需要的的向心力是Ｆ需=meｑ\f（ｖ２,ｒ）。当F供=F需时，天体在圆轨道上正常运行；当Ｆ供>Ｆ需时,天体做向心运动;当F供＜Ｆ需时,天体做离心运动。例2［2０１0·江苏卷］２0０9年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后,在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图1-4—1所示,关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有A。在轨道Ⅱ上经过Ａ的速度小于经过B的速度Ｂ。在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能Ｃ。在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期Ｄ．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度►探究点三人造卫星问题1．求解天体运动问题的思路（1）在涉及星球做匀速圆周运动的问题时，先确定轨道平面、轨道半径，再应用万有引力提供向心力列方程:Geq\f（Mm，ｒ2）＝ｍa=meq\f（ｖ2,r）=ｍω2r=m(eq＼f（2π，T)）2r（向心力的表达形式视条件和所求而定）——可称为“天上”公式；（２）在星球（半径R）表面附近，应用重力近似等于万有引力列方程:Geｑ\ｆ（Ｍm,R2）=mg——可称为“人间”公式.这两个公式的组合可称为“天上人间"公式,能解决绝大部分天体运动问题.2.第一宇宙速度的求法(１）设地球的质量为Ｍ,卫星的质量为ｍ,当人造地球卫星在近地轨道上运行时,轨道半径近似等于地球的半径R,即Ｇeq＼f（Mm，R2)=mｅｑ\f（ｖ2，R），故解得：ｖ=eｑ\r(\f（ＧM，R）)＝7.9kｍ/s(２）由卫星刚好绕地球表面运动，重力近似等于万有引力，ｍg＝ｅq\f（ｍｖ2，R),解出v=eq\r(gR)=7。9km/s。例3200７年10月24日18时０5分,我国成功发射了“嫦娥一号"卫星，若“嫦娥一号”卫星在地球表面的重力为G１,发射后经过多次变轨到达月球表面附近绕月飞行时受月球的引力为Ｇ2,已知地球表面的重力加速度为ｇ，地球半径为R1,月球半径为R２,则(）Ａ。“嫦娥一号"卫星在距地面高度等于地球半径２倍的轨道上做圆周运动时，其速度为v=eq\r(\ｆ(gR１，3））Ｂ．“嫦娥一号”卫星在距地面高度等于地球半径２倍的轨道上做圆周运动时，其速度为v＝eq\r（\ｆ（Ｇ1Ｒ1，３))Ｃ.“嫦娥一号"卫星到达月球表面附近绕月球做圆周运动时周期为T=2πｅｑ\r（\f(G1R2,Ｇ2ｇ））D。“嫦娥一号”卫星到达月球表面附近绕月球做圆周运动时周期为Ｔ=2πｅｑ＼r(\f(Ｇ2Ｒ２，G1g))变式题：近地人造卫星１和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为Ｔ１和Ｔ２.设在卫星１、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为ｇ１、ｇ2,则（A。eq＼f（ｇ1，g2）＝eｑ＼b＼ｌc\（＼ｒc＼）(\a\vs4＼ａｌ\co1（\f（Ｔ1,T２）））eq＼ｆ（４,3)B。ｅq\f(g1，g2)=eq＼b＼lｃ＼（\ｒc\）(\a＼vｓ４\aｌ＼co1（\f（T２,T1)））eq＼f(4,3)Ｃ.eq\f(g1，g２）=eq\b\lc＼（\rc\)（\a\vs4\ａｌ＼cｏ1(＼ｆ（T１,T２）））2D.eq＼f(g1，g２)=ｅq\b\lｃ＼(\ｒc\）（\a\vs4\al\ｃｏ１（＼f（Ｔ２,T1）））2►探究点四“双星”问题对“双星”问题,要抓住两个相等，即双星的角速度相等，向心力大小相等。例4［20１0·全国卷Ⅰ]如图１-４—2所示，质量分别为ｍ和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知Ａ、B的中心和Ｏ三点始终共线,A和B分别在Ｏ的两侧,引力常量为G。(1)求两星球做圆周运动的周期.（2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球Ａ和Ｂ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T１。但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期Ｔ2.已知地球和月球的质量分别为５．98×1024kg和7。３５×１0２2ｋg。求Ｔ2与T１两者平方之比。（结果保留３位小数)专题四万有引力与天体运动主备人陈世有组长徐健主任孙重社课时万有引力与天体运动时间2011年4月作业1．（基础题)火星探测项目我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T1，神舟飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为ｑ,则T1、Ｔ2之比为（)A。eｑ\ｒ(pq3)Ｂ。ｅｑ\r（＼f（1,pq3))Ｃ．eq＼r（＼ｆ（p，q3）)D．eｑ\r（＼f(q３,p）)2。（基础题）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列４幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像,图中坐标系的横轴是lg（T/ＴO)，纵轴是ｌｇ（R/ＲO）；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径,ＴO和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是(）３。(综合题）19７０年４月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功,开创了我国航天事业的新纪元.“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和运地点N的高度分别为43９ｋm和２３８4km，则(）Ａ。卫星在Ｍ点的势能大于N点的势能Ｂ.卫星在M点的角速度大于N点的角速度C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度D.卫星在N点的速度大于7.9ｋm/ｓ4.（综合题)宇宙飞船以周期为Ｔ绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食"过程，如图所示。已知地球的半径为R,地球质量为Ｍ,引力常量为G，地球处置周期为T０,太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则（）A．飞船绕地球运动的线速度为eq\f（２πＲ,Tｓi