福建省三明市普通高中毕业班月质量检查理科数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精福建省三明市2017年普通高中毕业班5月质量检查理科数学一、选择题:共12题1．已知集合A={x|1<2A.a>4 B。a>4 C.【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算、指数函数的性质。因为A∩B=A,所以A

2．已知i是虚数单位，则复数-1+i3+4iA.第一象限 B.第二象限 C。第三象限 D。第四象限【答案】D【解析】本题主要考查复数的共轭复数与四则运算以及复数的几何意义.-1+i3+4i=1+7i25

3．6名同学合影留念,站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为A。15 B.25 C.49【答案】B【解析】本题主要考查有限制条件的排列组合问题、古典概型,考查了分类讨论思想.6名同学排列两排有A66种不同的排法，其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的排法有:先选一排的其中一列站甲，再另一排的其余两列中选一列站乙,剩余的4个人任意排即可,则有∁

4．设F1，F2为双曲线Γ:x2a2-y2b2=1(a>A.y=±x B.y=±2x 【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的性质、直线的斜率公式，考查逻辑推理能力与计算能力.因为PF2与x轴垂直，点F1-c,0,F2(c,0),所以P(c,b2a),则直线

5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为2，则输出S的值为A。64 B.84 C.340 D.1364【答案】B【解析】本题主要考查循环结构程序框图,考查了逻辑思维能力.运行程序：x=2，S=0;S=4；x=4,S=20;x=8，S=84,此时满足条件,循环结束，输出S=84.

6．已知数列an的前n项和为Sn,且aA.3⋅21008-3 B.3⋅22016-3【答案】A【解析】本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式、递推公式的应用，考查了逻辑推理能力与计算能力。因为a1=1，an+1⋅an

7．已知函数f(x)=sin(xA.35 B.-35 C。4【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差公式、二倍角公式，考查了逻辑推理能力.fx=5sinx+φ-θ(其中tanθ=2),则fπ=sinπ+φ-2cos(π+φ) =±5，即2cosφ

8．在区域Ω={(x,y)|x≥0,x+A.23 B.12 C。-1【答案】C【解析】本题主要考查二元一次不等式组与平面区域，考查了数形结合思想与逻辑推理能力。作出不等式组所表示的平面区域，如图所示,则区域Ω的面积S=1，易知，直线y=-ax与x+y=1相交，交点（11-a,-a

9．在四面体ABCD中,若AB=CD=3，AC=BD=2A.-13 B.-14 C.【答案】D【解析】本题主要考查异面直线所成的角,考查了空间想象能力与逻辑推理能力。如图所示,分别取各条棱的中点，并互相连接,在三角形ABC中，FH为中位线，可得FH与IJ平行且相等，同理可得FJ与HI平行且相等,则四边行FHIJ是菱形，同理:四边形EHGJ是菱形，四边形EFGI是菱形，因此,在各菱形中,对角线相交于一点O，且互相垂直平分，令OH=OJ=x,OF=OI=y，则根据勾股定理可得：OH2+OF2=FH2，即x2+y2=54，FG2-OF2=OG2=GH2-OH2,化简可得y2-x2=14,求解可得x=22，y=32，即HJ=2，易知∠HGJ是异面直线AB与CD所成的角或补角，在三角形GHJ中，利用余弦定理可得cos∠

10．函数f(【答案】D【解析】本题主要考查函数的图像与性质,考查了数形结合思想与逻辑推理能力。f-x=x2lnx2x=fx

11．已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆A.6 B.364 C.5 【答案】C【解析】本题主要考查椭圆的定义与性质、点到直线的距离公式，考查了逻辑推理能力与计算能力。因为点Q为线段PF2的中点，所以OQ是三角形PF1F2的中位线,则PF1=2OQ=2b，则|PF2|=2a-2b,且PF

12．“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体,它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞(方盖)。如图,正边形ABCD是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r的圆,根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为A.83r3 B.83πr【答案】C【解析】本题主要考查牟合方盖的表面积与体积，考查了空间想象能力.设r为形成牟合方盖相互垂直等直径圆柱体的半径：牟合方盖表面积=16r2，牟合方盖体积=二、填空题：共4题13．已知向量a，b满足a=3 , 1，b=1,且a【答案】±2【解析】本题主要考查平面向量的共线定理与模.因为a=λb，所以向量a,b共线，又因为a=

14．1+ax1+x5的展开式中x【答案】2【解析】本题主要考查二项式定理，考查了逻辑推理能力与计算能力.要得到x2项，再1+ax中的1与1+x5展开式中的二次项乘积、1+ax中的x与1+x5展开式中的一次项乘积,1+x5的通项T

15．已知函数fn=n2cosnπ，数列【答案】-2【解析】本题主要考查三角函数求值、数列求和，考查了逻辑推理能力与计算能力.因为fn=n2cosnπ，an=fn+fn+1,所以a1=f1+f2=-=1×3=-2-2-⋯-2n

16．对于定义域为R的函数f(x),若满足①f(0)=0；②当x∈R，且x≠0时，都有xf'(xghϕ(φ(则其中是“偏对称函数"的函数个数为

.【答案】2【解析】本题主要考查新定义问题及其性质、导数与函数的性质,考查了逻辑推理能力与计算能力。①四个函数都满足f(0)=0；g(x)=2x+12(2x-1)·x2(x≠0),0(x=0);,当x≠0时，gx=2-x+12(2-x-1)·x2=-2x+12(2x-1)·x2=-g(x)，即函数g(x)是奇函数,若当x1≠x2，且g(x1)=g(x2)时,x1+x2=0,不满足③，故g(x)不是偏对称函数;hx=ln-x+1x≤0,2x三、解答题:共7题17．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,（Ⅰ)若b=6，求角C的正弦值及△ABC(Ⅱ）若D，E在线段BC上,且BD=DE=EC,【答案】（Ⅰ）B=60∘，c在△ABC中，由正弦定理bsin得sinC又b>c，所以B>C，则则sinA所以△ABC的面积S=(Ⅱ）设BD=x,则BE=2x，AE=2在△ABE中，由余弦定理得12x即8x2=16-8则BE=2，所以∠在直角△ADE中,AD=【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1）利用正弦定理求出角C的正弦值，易得角C为锐角，再利用两角和与差公式求出sinA的值，结合三角形的面积公式求解即可;(2）设BD=x，根据题意,在△ABE中，由余弦定理即可求出

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45∘，AD=AP=2,（Ⅰ)求证：AD⊥(Ⅱ）试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等.【答案】(Ⅰ)证明：在平行四边形ABCD中，连接AC，因为AB=22，BC=2由余弦定理得AC得AC=2所以∠ACB=90∘，即BC⊥所以AD⊥又AD=AP=2，DP=22所以AD⊥平面PAC，所以（Ⅱ)侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD，所以直线AC , 建立如图所示空间直角坐标系A-则A(0,0,0)，D(-2,0,0)，B(2,2,0)，EP(0,0,2),所以PC=(0,2,-2)，PB=(2,2,-2)，设PF则PF=(2λ,2所以EF=(2易得平面ABCD的法向量m=(0,0,1)设平面PDC的法向量为n=(x,y,得2y-2z=0,-2因为直线EF与平面PDC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，所以|cos<EF,m>即3|λ-1|=|λ|【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角、空间向量的应用,考查了空间想象能力与逻辑推理能力。（1）连接AC，根据题意,证明AD⊥AC,PA⊥AD,则结论易得；（2)建立如图所示的空间直角坐标系，设PFPB=λ(λ∈[0,1])，则EF=(2

19．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时,超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7。80元/吨计算水费.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨)，将数据按照[0,2]，(2,4]，…，(14,16]分成8组,制成了如图1所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况。（i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率;(ii）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ)如图2是该市居民李某2016年1~6月份的月用水费y

(元)与月份x的散点图,其拟合的线性回归方程是y=2【答案】（Ⅰ）（i)由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为110P=（ii）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图,可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：所以全市居民用水价格的期望E(（Ⅱ)设李某2016年1~6月份的月用水费y（元)与月份x的对应点为(x它们的平均值分别为x,y，则x1 +x2+⋯+x6=21=6x，又点(设居民月用水量为t吨，相应的水费为f(f(t当t=13时,f所以李某7月份的用水吨数约为13吨。【解析】本题主要考查频率分布直方图与回归方程、随机变量的分布列与期望、n次独立重复实验恰有k次发生的概率、函数的解析式与性质，考查了分析问题与解决问题的能力.（1)(i)由题意,从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为110，利用n次独立重复实验恰有k次发生的概率公式求解即可；(ii）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图得出频率分布表，则期望可得；(2)根据回归直线方程求出前6个月的水费和,可得7月份的水费,设居民月用水量为t吨,相应的水费为f(t

20．已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1

(a>b>0)的右焦点(Ⅰ）求椭圆Γ的方程;(Ⅱ）若CD与x轴垂直，A , B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD【答案】解法一：（Ⅰ)因为△MCD的面积是△NCD的面积的3倍，所以MF=3NF,即a+c=3(则椭圆Γ的方程为x2（Ⅱ)当∠ACD=∠BCD设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为-k不妨设点C在x轴上方，C(1,32)

,设则AC的直线方程为y-32(3+4k1+x同理1+x所以x1+x则kAB因此直线AB的斜率是定值12解法二：（Ⅱ）依题意知直线AB的斜率存在，所以设AB方程:y=kx+整理得(4k2+3)x2+8kmx所以x1+xΔ当∠ACD=∠BCD，则kAC+kBC所以y1-3所以2k整理得12k即(6k-3)(2k+2m当2k+2m-3=0时，直线当6k-3=0时，所以直线AB的斜率是定值12【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程与斜率，考查了分类讨论思想与方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由△MCD的面积是△NCD的面积的3倍易得a+c=3(a-c)，则结论易得；（2)法一：由题意可知，当∠ACD=∠BCD，则kAC+kBC=0,不妨设点C在x轴上方，设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为-k,利用直线AC、BC的直线方程分别与椭圆方程联立求出点A、B的坐标，利用斜率公式化简求解可得结论;法二:设

21．已知函数f(x)=（Ⅰ)当a=4时，求证：过点P(1 , 0)有三条直线与曲线（Ⅱ）当x≤0时，f(x【答案】解法一：（Ⅰ）当a=4时，ff设直线与曲线y=f(则曲线y=f(x)因为切线过点P(1,0)，所以-即-e∵e2x设g(∵g(-2)=-35<0,g(0)=1∴g()=0在三个区间(-2,0),(0,1)，又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程8x故过点P(1,0)有三条直线与曲线y（Ⅱ)∵当x≤0时，f(x)+1≥0∴当x≤0时，a设h(x)=设m(x)=（1)当a≥-2时,∵x≤0,∴ 2e∴m(x又∵m(0)=0,∴当x≤0时，m(x∴h(x)=a从而当x≤0时,h(于是当x≤0时,f(2)当a<-2时，令m故当x∈(12∴m(x又∵m(0)=0,∴当x∈(从而当x∈(12∴h(x)=a从而当x∈(12ln(-于是当x∈(12综合得a的取值范围为[-2,+∞)。解法二：(Ⅰ）当a=4时，ff'设直线与曲线y=f(则曲线y=f(x)因为切线过点P(1,0)，所以-即-e∵e2设g(x)=8x3-14当x变化时,g(x∴8x故过点P(1 , 0)有三条直线与曲线y（Ⅱ)同解法一。【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质与极值，考查了分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.法一：(1)f'(x)=2e2x(4x2+6x),设直线与曲线y=f(x)相切，其切点为(x0,f(x0))，求出切线方程