河北省廊坊市香河县2021-2022学年高二下学期期末数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北省廊坊市香河县2021-2022学年高二下学期期末数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知全集，函数的定义域为M，集合，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．下列说法中正确的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．命题“对，恒有”的否定是“，使得”C．在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称D．若幂函数过点，则3．随着人们生活水平的提高，产生的垃圾也越来越多，而进行垃圾分类管理能将这些垃圾转化为新能源，同时还能让这些垃圾得到有效的处理，这样能减少对土壤的危害，防止污染空气，但是人们对垃圾分类知识了解不多，所以某社区通过公益讲座的形式对社区居民普及垃圾分类知识，为了解讲座的效果，随机抽取了10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图所示，则（

）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差4．如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（

）A．1 B． C． D．5．函数的图像可能是A． B．C． D．6．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要A．3233万元 B．4706万元 C．4709万元 D．4808万元7．已知的两个极值点分别为且，则函数A． B． C．1 D．与b有关8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（

）A．是偶函数 B．在上是增函数C．的值域是 D．的值域是评卷人得分二、多选题9．已知复数，为z的共轭复数，复数，则下列结论正确的是（

）A．对应的点在复平面的第二象限 B．C．的实部为 D．的虚部为10．在中，点满足，当点在线段上（不含点）移动时，记，则（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为11．已知正数，满足，则（

）A． B．C． D．12．已知函数，以下结论中正确的是（

）A．是偶函数 B．有无数个零点C．的最小值为 D．的最大值为1第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．已知随机变量，则________.14．写出一个同时具有下列性质①②的函数__________.①；

②.15．若实数，满足，则的最小值为____.评卷人得分四、双空题16．倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为使排放的废气中含有的污染物量减少，某化工企业探索改良工艺，已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为.设改良前所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），则第n次改良后所排放的废气中的污染物量（单位：）满足函数模型.（1）_________；（2）依据当地环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过，则至少进行____________次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.（参考数据：）评卷人得分五、解答题17．已知，设.(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18．已知是定义在上的奇函数，且，若，且时，有恒成立．（Ⅰ）用定义证明函数在上是增函数；（Ⅱ）解不等式：；（Ⅲ）若对所有恒成立，求实数m的取值范围．19．某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲､乙两班学生进行网络问卷调查，统计了甲､乙两班各40人每天的学习时间(单位：小时)，并将样本数据分成，，，，五组，整理得到如下频率分布直方图：（1）将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的列联表：不少于6小时少于6小时总计甲班乙班总计能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗？为什么？（2）此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足，其中等于甲班学生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间的概率.参考公式：，.参考数据①：②若，则，.20．△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知，．（1）求；（2）设·,求．21．已知（Ⅰ）求函数上的最小值；（Ⅱ）若对一切恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.22．已知函数，.（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【解析】【分析】求出，，或，然后根据集合的运算逐项判断可得答案.【详解】函数的定义域为，集合，而或，对于A，，故正确；对于B，

，故错误；对于C，或，故错误；

对于D，由，或，所以不是的子集，故错误.故选：A.2．D【解析】【分析】根据从充分必要条件判断A选项；利用全称命题的否定形式判断B选项；利用对数函数与指数函数的关系判断C选项；由幂函数的定义求参数即可判断D选项.【详解】对于A选项：“”是“”的充分不必要条件，所以A选项不正确；对于B选项：命题“对，恒有”的否定是“，使得”，所以B选项不正确；对于C选项：在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称，所以C选项不正确；对于D选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，即，所以D选项正确；故选：D.3．B【解析】【分析】对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D．【详解】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：，，，，，，，，，，讲座前问卷答题的正确率的中位数为：，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：，讲座前正确率的极差为：，讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B.4．B【解析】【分析】设点E到平面的距离为h，根据，利用等体积法即可得出答案.【详解】解：设点E到平面的距离为h，因为点E是棱的中点，所以点E到平面的距离等于点B到平面的距离的一半，又平面过的中点，所以点B到平面的距离等于点D到平面的距离，由等体积法，所以，，，在中，，所以，则解得，即点E到平面的距离为.故选：B.5．A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可．【详解】解：f（﹣x）f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，由f（x）＝0得sinx＝0，得距离原点最近的零点为π，则f（）0，排除C，故选A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．6．C【解析】【分析】设备费为万元，根据等比数列的性质可得，由此可求出；设每个实验室的装修费用为万元，由题意可知，即，再根据等比数列前项和，即可求出结果.【详解】设每个实验室的装修费用为万元，设备费为万元，则所以解得故.依题意，即.所以总费用为.故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的前和公式的应用，属于基础题.7．B【解析】【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到满足的方程组，解方程组可以得到，从而可求．【详解】，故，，且，又，所以，故，解得（舎）或者．此时，，故故选B．【点睛】如果在处及附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点且．极大值点、极小值点的判断方法如下：（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；（2）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点．8．B【解析】计算得出判断选项A不正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项B正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，进而判断选项CD不正确，即可求得结果.【详解】对于A，根据题意知，.∵，，，∴函数不是偶函数，故A错误；对于B，在上是增函数，则在上是减函数，则在上是增函数，故B正确；对于C，，，，即的值域是，故C错误；对于D，的值域是，则的值域是，故D错误.故选：B.【点睛】本题要注意对函数的新定义的理解，研究函数的单调性和值域常用分离常数，属于较难题.9．BC【解析】【分析】根据共轭复数的定义及复数的除法运算求出复数，再根据复数的实部和虚部的定义即可判断CD；根据复数的几何意义可判断A；根据复数的模的计算公式可判断B.【详解】解：因为，所以，所以，即实部为，虚部为，对应的点为在第三象限，，故AD错误；BC正确.故选：BC.10．BC【解析】【分析】根据中点和向量共线，可得，进而可得，的关系，然后根据基本不等式以及对勾函数可求最小值.【详解】是中点,则,又点在线段上,即三点共线,设,故,.故B对A错.,当且仅当时,即,故C对.在上单调递减，当取最小值，故D错.故答案为：BC11．AC【解析】【分析】令，根据指对互化和换底公式得：，再依次讨论各选项即可.【详解】由题意，可令，由指对互化得：，由换底公式得：，则有，故选项B错误；对于选项A，，所以，又，所以，所以，故选项A正确；对于选项C､D，因为，所以，所以，所以，则，则，所以选项C正确，选项D错误；故选：AC.【点睛】本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令，进而得，再根据题意求解.12．ABD【解析】【分析】利用函数的性质，三角函数的性质及导数与单调性及极值，及最值关系检验各选项即可判断.【详解】对于A选项：因为的定义域为，则，所以是偶函数，A选项正确；对于B选项：令，则，所以，解得，所以有无数个零点，B选项正确；对于C选项：因为，所以若的最小值为，则是的一个极小值点，而，则，不是函数的极小值点，C选项错误；对于D选项：因为，当时，取到最大值1，取到最小值1，所以此时取到最大值1，D选项正确；故选：ABD.13．##【解析】【分析】根据二项分布的概率公式求出，再根据二项分布的方差公式计算可得.【详解】解：随机变量，则，即，所以，而.故答案为：14．（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的的单调性和奇偶性求出函数的解析式即可.【详解】解：若，则，满足性质①；，满足性质②.故答案为：（答案不唯一）15．4【解析】【分析】由已知可知，2（a﹣1）+b﹣2＝2，从而有（）[2（a﹣1）+b﹣2]，利用基本不等式可求最小值.【详解】解：∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，则（）[2（a﹣1）+b﹣2]，（4），当且仅当且2a+b﹣6＝0即a，b＝3时取得最小值为4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的应用，解题的关键是配凑基本不等式的应用条件．16．

6【解析】【分析】（1）先由，求出，即可得到的表达式；（2）由题意可得，两边取对数，解不等式得到，即可得到答案.【详解】（1）由题意得，所以当时，，即，解得，所以.（2）由题意可得，整理得，即，可得，即，由，得，又，所以，故至少进行6次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.故答案为：；6.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）先分别解出集合，，由“”是“”的充分不必要条件，得到，列不等式，即可求得；（2）先求出，由“”是“”的必要不充分条件，得到，即可求出实数a的取值范围.（1）（1）因为，解得：，所以.又因为，即，所以或，即，因为“”是“”的充分不必要条件，则有，所以有，即且，所以实数a的取值范围是.（2）因为，所以，又“”是“”的必要不充分条件，则，即，所以实数a的取值范围是.18．（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）或【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由在上是增函数；（Ⅱ）原不等式可化为，解得

；（Ⅲ）原命题转化为恒成立的取值范围为或.试题解析：（Ⅰ）证明：设任意且，由于是定义在上的奇函数，∴因为，所以，由已知有,∵，∴，即，所以函数在上是增函数.

（Ⅱ）由不等式得，解得

（Ⅲ）由以上知最大值为，所以要使对所有，只需恒成立，得实数m的取值范围为或.19．（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关，理由见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算出甲班学习时间不少于6小时的人数和乙班学习时间不少于6小时的人数，可得列联表；计算，对照临界值表可得结果；（2）根据频率分布直方图计算，再根据计算可得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知，甲班学习时间不少于6小时的人数为：人，则甲班学习时间少于6小时的人数为28人；同理得乙班学习时间不少于6小时的人数为人，则甲班学习时间少于6小时的人数为22人.由此得到列联表：不少于6小时少于6小时总计甲班122840乙班182240总计305080因为，所以没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关.（2）甲班学生学习时间的平均数.，所以.即甲班学生学习时间在区间的概率为.【点睛】关键点点睛：（1）中掌握独立性检验的基本思想是解题关键；（2）中利用正态分布的两个特殊概率求解是解题关键.20．（1）；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得：，又，所以，所以，展开两边同除以即可；（2）因为·，，所以，则，由余弦定理得，所以，．试题解析：（1）∴（2）∵·，∴，则∴∴，考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式．21．（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（I）求出，分别令得增区间，得减区间，分三种情况讨论，从而可得函数在区间上的最小值；（Ⅱ）等价于，只需以即可；（Ⅲ）问题等价于证明，由的最小值是，最大值为.【详解】（I），当，，单调递减，当，，单调递增．①无解；②，即时，；③，即时，在上单调递增，，所以．（Ⅱ），则，设，则，，，单调递增，，，单调递减，所以，因为对一切，恒成立，所以；（Ⅲ）问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．22．（1）．（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，根据，即可求解；（Ⅱ）由