福建省泉州市南安一中高二上学期期中考试数学理试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2012—2013学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：(12×5分=60分）1．（5分)（2011•福建）若a∈R，则a=2是（a﹣1)（a﹣2）=0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析:根据一元二次方程根的定义，我们判断出a=2⇒（a﹣1)（a﹣2）=0及（a﹣1）(a﹣2）=0⇒a=2的真假,进而根据充要条件的定义即可得到答案．解答：解：当a=2时，（a﹣1）（a﹣2)=0成立故a=2⇒（a﹣1）（a﹣2)=0为真命题而当(a﹣1）（a﹣2)=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立故（a﹣1）(a﹣2）=0⇒a=2为假命题故a=2是(a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中判断a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2是解答本题的关键．2．（5分）已知向量=（1，1,0)，=(﹣1，0，2),且与互相垂直,则k的值是（)A．1B．C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：常规题型．分析：根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3(k﹣1)+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．解答：解：根据题意,易得k+=k（1，1,0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2）,2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1,0，2）=（3，2,﹣2）．∵两向量垂直，∴3(k﹣1)+2k﹣2×2=0．∴k=，故选D．点评：本题考查向量数量积的应用,判断向量的垂直，解题时,注意向量的正确表示方法．3．（5分)已知命题p：,则(）A．￢p：B．￢p：C．￢p:D．￢p：考点：特称命题;命题的否定．专题：计算题．分析:直接利用特称命题的否定是全称命题，写出命题p的￢p即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：,则￢p:．故选C．点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，注意量词的转化，考查基本知识的应用,常考题型．4．(5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是(）A．B．C．D．考点：空间向量的基本定理及其意义．专题：计算题．分析:利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．解答:解：∵====故选A点评:本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．5．（5分）有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线;②O，A，B，C为空间四点,且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面;③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③考点：共线向量与共面向量．专题：综合题．分析：空间向量的基底判断②③的正误，找出反例判断①命题的正误，即可得到正确选项．解答:解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么的关系是不共线；如果有一个向量为零向量,共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O,A，B,C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线,正确．故选C．点评:本题考查共线向量与共面向量，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．6．（5分）（2008•北京）若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2,0)的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线考点：抛物线的定义．分析：把直线x=﹣1向左平移一个单位变为x=﹣2,此时点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0)的距离，这就是抛物线的定义．解答:解：因为点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2,0)的距离小1，所以点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0)的距离，因此点P的轨迹为抛物线．故选D．点评：本题考查抛物线的定义．7．(5分）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为30．若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于10，则曲线C2的标准方程为(）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题．分析:先根据题意可推断出椭圆方程中的长半轴，进而根据离心率求得焦半距,根据曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于10,推断出其轨迹是双曲线且半焦距为7，实轴为10，进而求得虚轴的长，则双曲线的方程可得．解答：解：根据题意可知椭圆方程中的a=15，∵=∴c=7根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线，其中半焦距为7，实轴长为10∴虚轴长为2=4∴双曲线方程为故选B．点评：本题主要考查了双曲线的定义和简单性质，双曲线的标准方程和椭圆的简单性质．考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用．8．（5分）“k＞9”是“方程表示双曲线”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件考点：双曲线的标准方程；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：可直接求出方程表示双曲线的充要条件，在看与条件“k＞9”谁能推出谁，即可进行选项比对．解答：解：方程表示双曲线的充要条件是（k﹣4）（9﹣k）＜0，即k＞9或k＜4．由于“k＞9”⇒“k＞9或k＜4";反之不成立．故选B．点评:本小题主要考查双曲线的标准方程、必要条件、充分条件与充要条件的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．方程表示双曲线则须m＞0，n＜0或m＜0，n＞0即mn＜0．属于基础题．9．（5分）已知抛物线y2=8x，过点A（2,0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中点P到y轴的距离为（）A．B．C．D．8考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程3x2﹣20x+12=0,利用韦达定理，可求弦BC的中点P到y轴的距离．解答：解：由题意，直线l方程为:y=（x﹣2）代入抛物线y2=8x整理得：3x2﹣12x+12=8x∴3x2﹣20x+12=0设B(x1，y1)、C（x2，y2）∴x1+x2=∴弦BC的中点P到y轴的距离故选A．点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．10．（5分）（2007•江西）连接抛物线x2=4y的焦点F与点M（1，0）所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为(）A．B．C．D．考点：抛物线的定义．分析：先求出直线FM的方程，然后与抛物线方程联立方程组解得点A的纵坐标，最后利用三角形面积公式求解．解答：解：抛物线x2=4y的焦点F为（0,1)且M（1，0)，所以直线FM所在的直线方程为x+y=1,与抛物线方程联立有，解得y1=，y2=，因为点A是线段FM与抛物线x2=4y的交点，所以点A的纵坐标为,所以．故选B．点评：本题主要考查代数法研究形，同时考查抛物线焦点坐标、直线方程等知识点．11．(5分）(2007•安徽）已知F1,F2分别是双曲线﹣=1(a＞b＞0）的两个焦点，A和B是以O（O为坐标原点）为圆心，｜OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．+1考点：双曲线的简单性质．专题:计算题；数形结合．分析：先设F1F2=2c，根据△F2AB是等边三角形，判断出∠AF2F1=30°，进而在RT△AF1F2中求得AF1和AF2，进而根据栓曲线的简单性质求得a，则双曲线的离心率可得．解答：解:如图,设F1F2=2c，∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1=30°，∴AF1=c,AF2=C，∴a=e==+1，故选D点评:本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．12．（5分）设点P（x，y）是曲线上的点，又点F1(﹣4,0），F2（4，0），下列结论正确的是（）A．｜PF1｜+｜PF2｜=10B．|PF1｜+｜PF2|＜10C．｜PF1|+|PF2|≤10D．|PF1｜+|PF2｜＞10考点：简单线性规划．专题：计算题；压轴题．分析：先确定图形的形状，再利用图形求解即可解答：解：曲线可化为:，∴曲线围成的图形是一正方形，与坐标轴的交点分别为（±5,0），（0，±3）,根据图形的对称性，当且仅当点P为（0，±3）时，|PF1｜+|PF2｜最大为10,故选C．点评：本题主要考查曲线与方程，考查两点间的距离公式，属于基础题．二、填空题：（4×4分=16分）13．（4分）命题“若a=﹣1，则a2=1”的否命题是若a≠﹣1，则a2≠1．考点：四种命题间的逆否关系．专题:计算题．分析：直接按照否命题的定义，写出命题的否命题即可．解答:解:一般命题的否命题，就是将命题的条件与结论都否定,所以命题“若a=﹣1，则a2=1”的否命题是：“若a≠﹣1,则a2≠1”．故答案为：若a≠﹣1,则a2≠1．点评:本题考查没有与否命题的关系，考查基本知识的应用．14．（4分)已知向量．若与的夹角为60°，则实数k=﹣3．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题:计算题；平面向量及应用．分析:利用向量数量积公式，建立方程，即可求得k的值．解答：解：∵，与的夹角为60°，∴﹣k=××cos60°∴k2=9∵k＜0，∴k=﹣3故答案为：﹣3点评：本题考查向量的数量积，考查学生的计算能力,属于基础题．15．（4分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：可求得抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可求得b2及双曲线﹣=1的右焦点坐标，利用点到直线间的距离公式即可．解答：解：∵抛物线y2=12x的焦点坐标为(3，0），依题意,4+b2=9，∴b2=5．∴双曲线的方程为：﹣=1,∴其渐近线方程为:y=±x，∴双曲线的一个焦点F（3,0）到其渐近线的距离等于d==．故答案为:．点评:本题考查双曲线的简单性质，求得b2的值是关键，考查点到直线间的距离公式，属于中档题．16．（4分）（2012•江苏二模）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F．设线段AB的中点为M，若,则该椭圆离心率的取值范围为(0,，﹣1+］．考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析:将向量用坐标表示,利用数量积公式,可得关于e的不等式，即可求得结论．解答：解：由题意，A（﹣a,0），B（0,b）,F（c，0)，则M（）∵∴∴∴∴e2+2e﹣2≤0∴﹣1﹣≤e≤﹣1+∵e＞0∴0＜e≤﹣1+故答案为：(0，，﹣1+］点评：本题考查椭圆的离心率，考查向量知识的运用,属于中档题．三、解答题：（共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（12分）已知命题p：不等式(x﹣1）2＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=(5﹣2m）x是R上的增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次不等式恒成立的条件可得，p：即m＜1；由指数函数的单调性与特殊点得，q:即m＜2．从而求得当这两个命题有且只有一个正确时实数m的取值范围．解答：解:不等式（x﹣1）2＞m﹣1的解集为R，须m﹣1＜0即p是真命题时，m＜1f（x）=(5﹣2m）x是增函数，须5﹣2m＞1即q是真命题时，m＜2由于p或q为真命题，p且q为假命题故p、q中一个真,另一个为假命题当p真q假时，不存在满足条件的m值当p假q真时，1≤m＜2综上实数m的取值范围为1≤m＜2点评：本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义，指数函数的单调性与特殊点，分类讨论思想，化简这两个命题是解题的关键．属中档题．18．（12分）（2011•陕西）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且|MD|=｜PD|（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点(3,0）且斜率的直线被C所截线段的长度．考点：轨迹方程;直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析:（I）由题意P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且｜MD｜=|PD|，利用相关点法即可求轨迹;（II）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立,利用根与系数的关系得到线段长度．解答：解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为(xp,yp）由已知得：∵P在圆上，∴，即C的方程为．(II）过点（3，0）且斜率为的直线方程为：，设直线与C的交点为A（x1，y1)B（x2，y2),将直线方程即：，∴线段AB的长度为|AB｜===．点评：此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程,还考查了联立直线方程与曲线方程进行整体代入，还有两点间的距离公式．19．（12分）如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1,OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．考点:直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．分析：根据题中的条件可建立以O为原点,OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴的空间直角坐标系然后利用空间向量进行求解：（1）根据建立的空间直角坐标系求出然后再利用向量的夹角公式cos=求出cos＜＞然后根据cos＜＞≥0则异面直线BE与AC所成角即为＜＞，若cos＜＞＜0则异面直线BE与AC所成角即为π﹣＜＞进而可求出异面直线BE与AC所成角的余弦值．(2）由（1）求出和平面ABC的一个法向量然后再利用向量的夹角公式cos=求出cos＜，＞再根据若cos＜,＞≥0则直线BE和平面ABC的所成角为﹣＜，＞，若cos＜，＞＜0则直线BE和平面ABC的所成角为＜，＞﹣然后再根据诱导公式和cos＜，＞的值即可求出直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．解答：解：（1)以O为原点,OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1）、B（2，0，0)、C(0,2,0）、E（0，1，0）…（3分）∴，∴COS＜＞==﹣…（5分）所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…（6分）（2）设平面ABC的法向量为则知知取，…(8分）则…（10分)故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（12分)点评：本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量！20．(12分）（2006•上海)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．(1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．考点：四种命题的真假关系；抛物线的简单性质．分析:（1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可,（2）把（1)中题设和结论变换位置然后设出A,B两点的坐标根据向量运算求证即可．解答：解：（1）设过点T（3，0)的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2)．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3,﹣)．∴=3；当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0,由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6又∵，∴，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0）,那么=3"是真命题；（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3，那么该直线过点T（3，0)．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A（2，2）,B（,1），此时=3,直线AB的方程为：，而T(3，0)不在直线AB上；说明:由抛物线y2=2x上的点A(x1，y1）、B（x2,y2)满足=3，可得y1y2=﹣6，或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3,0);如果y1y2=2，可证得直线AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．点评:本题考查了真假命题的证明,但要知道向量点乘运算的知识．21．(12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，BB1⊥平面ABC（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD;（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：空间角；空间向量及应用．分析:(I)取BC中点O，连接AO．可由面面垂直的性质得到AO⊥平面B1C1CB，令B1C1中点为O1,以0为原点，OB，OO1，OA的方向为x,y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出向量，，的坐标，用向量法可得⊥，⊥,进而由线面垂直的判定定理得到AB1⊥平面A1BD；（II）求出平面AA1D的法向量，结合(I）中结论为平面A1BD的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A﹣A1D﹣B的余弦值；（Ⅲ）由（I）中为平面A1BD的法向量，求出向量的坐标，代入，可得点C到平面A1BD的距离．解答：解：(I）取BC中点O，连接AO．∴△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面B1C1CB，∴AO⊥平面B1C1CB,取B1C1中点O1，以0为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0,2，），A（0，0,），B1(1,2，0)，∴=（1，2,﹣），=（﹣2，1，0)，=（﹣1，2,）．∵•=﹣2+2=0,•=﹣1+4﹣3=0∴⊥，⊥∴AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ)设平面AA1D的法向量为=(x，y,z）．∵=（﹣1,1,﹣），=（0,2，0）．⊥，⊥，∴,即令z=1得=(，0，1)由（I）知AB1⊥平面A1BD,∴为平面A1BD的法向量．∴∴二面角A﹣A1D﹣B的余弦值为．（3）由(2），为平面A1BD的法向量，又∵=（﹣2，0，0），=（1,2，﹣)，．∴点C到平面A1BD的距离．点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法,直线与平面垂直的判定,点到平面的距离，其中建立空间坐标系，将空间线面关系,夹角问题转化为向量问题是解答的关键．22．(14分）（2013•天津模拟）设椭圆C：的左