2022-2023学年江西省临川一中上学期期中考试理科数学试卷及答案

PAGE14页卷面满分：150

临川一中2022-2023学年度上学期期中考试高三年级数学理科试卷考试时间：120分钟一、单选题（每题5分，共60分）1．已知全集U7,8,A5,B7,8，则(CUA)B（ ）A．7,8

7,8

D．1,2,6,7,8已知i是虚数单位，若2iz(1i)，则z对应的点在复平面的( )第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限已知命题p：“a0，有a12成立”，则命题p的否定为（ ）aA．a0，有a1≥2成立 B．0，有a1≥2成立a aC．a0，有a1≥2成立 D．a0，有a1≥2成立a a“幂函数fxm2mxm在,上为增数”是函数gx2xm22x为奇函”的（ ）条件充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必5．对于任意实数a、b、c、d，下列命题中，真命题为（ ）①若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d； ②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③若a＞b＞0，则3a>3b； ④若a＞b＞0，则1>1．a2 b2A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 1sincosy

x在点42，则1

2cosπ （ ） 4 2

12

2

D．12一丈等于十尺，一尺等于十寸，则说法不正确的是（）2相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸75寸D．立冬的晷长为一丈五寸在ABC中，A,B,C分别为ABC三边a、b、c所对的角．若cosBcosBcosC2asinB，则ABC外接圆直径为（ ）

3sinB2且满足关系式b c 2A．3 B．2 C．4 D．329．定义在R上的偶函数f(x)满足f(2x)f(x2)，当x[0,2]时，f(x)(e)x，若在区间x[0,10]内，函数g(x)f(x)mx(m0)有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）e1e1

e51

e1e1

e1A．10, 6

B．(0, )10

C．( , )6

D．0, 10

e（其中

51）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆22x2a2

y2b2

1，ab0OO为黄金椭圆上除顶点外任意一点，b2P作OA，BABx，yM，NOM2

a2ON

（ ）A.1 B. C.

1已知定义在（－2，2）上的函数f(x)导函数为f'(x)，若f(xe4xf(x)0fe2x0时，f'(x)2f(x)，则不等式e2xf(2x)e4的解集为（ ）A.(1,4)

B.(-2,1)

C.(0,4)

D.(0,1)若函数f(x)exa(x1)b在区间[1，1]上有零点，则a2b2的最小值为（ ）24eB.e25

1C. D.e2二、填空题（520）

1．已知量a，b满足a=（34，a·b=，ab7则b＝ .0已知fx为偶函且2fxdx4，则22fx|x|x等于 0fx)A00π6 所示的函数yg(x)的图象，若f(0)fπab,(a,b0)，则11最小值为 ． 3 a b已知菱形D的各边为,D60.如图所将D沿C折起，使得点D到达点S的位置连接SB得到三棱锥SABC此时SB3.若E是线段的中点点F在三棱锥SABC的外接球上运动且始终保持EFAC则点F的轨迹的面积为 .三、解答题1（12分）

n的前n项和S

4n1 4 (n 3 3n求数列n的通项公式；n若nanog2an，求数列n的前n项和n.1（12分）如图,在边长为2

ABC

中，D，E分别为边AC，AB的中点．将

沿DE折起，使得ABAD，得到四棱锥ABCDE，连接BD，CE，且BD与CE交于点H．AHBD；设点B到平面AED

h1，点E到平面ABD的距离为hh2，求h2

的值．1（12分）2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，乙同样也是答两道题.10枚纪念币.p，乙第一2 1 15题答对的概率为3，第二题答对的概率为2.已知乙有机会答题的概率为16.求p;X的分布列及期望.2（12分）已知双曲线C与双曲线x2y2有相同的渐近线，且过点(22,).求双曲线C的标准方程；

12 3 1DEDFDEDF已知点D(2,0),E,F是双曲线C上异于D的两个不同点，且 ，证明:直线EF过定点，并DEDFDEDF求出定点坐标.21.（12分）已知函数f(x)exax,

(x)

f(x)sin2x

aR),其中e2.71828为自然对数的底数．f(x的单调性，若aN*，当x0时，(x)0恒成立时，求a（参考数据：e3201）四．选做题（共10分，请考生在22，23题任选一题作答，如果多选，则按所做第一题记分）210分边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQP2πQπ， 6 6 以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，曲线C1的参数方程为

x3t21

（t为参数．y1t 2求Q所在圆C2的直角坐标方程；M的直角坐标为01，曲线和圆

1|MA|1MB|相交于A，1|MA|1MB||2（10分）已知函数fx

x+1x．fxmm；abcabcm，证明：abc111．bc ac ab a b cPAGE110页临川一中2022-2023学年度高三上学期期中考试数学试卷答案（理）一、单选题【详解】U【详解】UA,,,7,，则UAB,,,,7,.故选：C【答案】A2 22 21i1i1i【详解】解：由2iz（1﹣，得z2i1i2i13i，a0，有a12成立”的否定是0，a有a12成立”，a故选：B【答案】A则则gx2x2x2x2x，所以函数gx为奇函数，即充分性成立；“函数gx2xm22x为奇函数”，gxgx，即2xm2xxm22xm22xm1，故必要性不成立，故选：A．m1，当m1gx2x2xxR，m0m2m1则fxm是幂函数，且在上为增函数，2x2x1则曲线y4x在点4处的切线的斜率为ky 2，又倾斜角为2xxyy42 2 2 2 22 2 2 2 22 21tan22 1.故选：B.2sin 2sin cos tan2tan2222cos 2sin cos221cossin2 2 4 12 cossin则12cosπ1sincos 1sincos 1sincos所以tan 2【答案】B【详解】对于①acbdabdc，无法判断是否大于零，当ab0c0d2时，则acbd，故①错误；对于②，根据不等式性质，同向同正可乘性，可得②正确；对于③，根据不等式性质，正向可开方性，可得③正确；1 1 b2a2 baba

22 baba对于

，ab0

ba0,ba0,ab0，则

0，a2 b2

a2b2

a2b2

a2b2故11a2

，可得④错误.故选：B.【答案】C15135dd，利用等差数列知识即可判断各选项.【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an,其中15135寸，公差为d寸，则1351512d，解得d0（寸同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn},首项b1135，末项b1315，公差d10（单位都为寸）.故选项A正确；春分的晷长为b7，b7b16d1356075秋分的晷长为a7，a7a16d156075，所以B正确；立冬的晷长为a10，a10a19d1590105，即立冬的晷长为一丈五寸，D正确；立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，a43d153045，3d13530105，b4a4，故错C误.【分析】由cos【分析】由cosB3sinB2，推导出B60，由cosBcosC2asinB，推导出b.bc3c【详解】cosB3sinB2，2sin(B30)2，可得sin(B30)1，又30B30210B6，cosBcosC2asinB，ccosBbcosC2absinB，bc3c3∴sinCcosBsinBcosC2bsinAsinB，sin(CB)2bsinAsinB，33∴1 sinB，∴ 2sinB2bb31 3132323．【答案】D【详解】由题，令【详解】由题，令x2替换x，则f2x2fxfx22fx4，fxfxfxfx4fxfxT4，【答案】AOAPB四点共圆,x2y2b2

x2x y2yy

相减，得lAB:

b2Mb2x02

00x

N

b)，因为2y022 2 b2 a2

x2 a2

b2x2a2y

a2b2 a2b a

000 0

2 1OM

ON

b4 b4 b2 b42 2xy0 0xy

b4

b2，所以 = .5-15-1【答案】Ag(x)

f(x)则由f(x)e4xf(x)0得g(x)g(x)0，∴g(x)为奇函数e2x' f'(x)f(x) '又g(x) ，∴当x0时，g(x)0,g(x)单调递增，∴g(x)在（－2，2）上单调递增e2x又g(1)f(1)1，∴e2xf(2x)e4f(2x)1g(2x)g(1)22x21x4e2 e2(2x)选A

2x1【答案】Ag(t)在[1，1]单调递增.g(t)最小值为4e.2 513.【答案】13.【答案】614.【答案】16115．【答案】11

2512作作EHAC于H，设点F轨迹所在平面为，则平面经过点H且AC，3；2 23 4三棱锥SABC体积为V132232则三棱锥SABC的高hsinSBMSB3，【详解】取AC中点M，则ACBM,ACSM,BMSMM，∴AC平面SMB，SMMB3，又SB3，∴SMSB30，2525∴截面圆的面积为 123 4 67153，1故平面截外接球所得截面圆的半径为rr2d22易知O到平面的距离dMH1，33113OM1，又OS2SM23，，得OO11OOMRt△3，331OM SM，1 2211OMO601OMO由题可得设三棱锥SABC外接球的球心为O,SAC,BAC的中心分别为O1,O2，易知OO1平面SAC,OO2平面BAC，且O,O1,O2,M四点共面，(求到一组得(求到一组得2分) 12n2n4n1431n22414n14=8nn2 3T(4444)2(123n)所以，6n n 2nnbaloga42n（2）由题可知n*N)； 5n4(nan因为a4也满足a4n， 413n4，334n14n344n 44n1当n2时，anSn 333，13 3111时，aS 43 3442*44n1【详解（1）因为Sn (nN)，当n2nn.4n143(2)Tn*N)；n4(nn1(1)ah Sh，则3AED1 3ABD2h Sh，则3AED1 3ABD21S33在图2中，有DHED1，DH1BD3． 33在图2中，有DHED1，DH1BD3． 3分在在△BCD中，BDCD，BC2，CD1，BD3，QD、E分别为边AC、AB的中点，ED//BC， 2分HB BC 23在RtHB BC 23在RtBAD中，BD3，AD1，DA DHAHD． 4分在BAD和AHD中，DBDA3，BDAADH，AHDBAD90，即AHBD； 6分2）2）BAEDEABD，h1S2 AED1 ABDh S． 8分AEDAED1的等边三角形，S 3． 9分4在RtABD中，在RtABD中，BD3，AD1，则AB2．ABDS2， 10分26． 12分则h1231(1)p3；(2)分布列见解析，E(X)4154解得4解得p3； 316P1p)215，（1）1题后，乙才有机会答题.X010203040P11611693213323161010X的分布列为：2 1 332P(X40)43216 9432 3224X的分布列为：2 1 332P(X40)43216 9432 32242 32121 131 31 1C1 43322P(X30)4 32 24432 32 321 11 913 21132P(X20) 4 432 162131111PX10C× 16112P(X0)4（2）X的可能取值为0，10，20，30，40； 4ΔΔ8km)244m244k20，即4k2m210， 62y1，x24EFx2y2ykxm与双曲线化简得4k21x28kmx4m210，242（）当直线EF斜率存在时，设F:yxm，x2所以双曲线C的标准方程为 y1 4(2)证明见解析（1）C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线Cx24y2代入点A坐标，解得442x22【答案【答案(1) y1 3 综上，直线EF过定点M10,012 3 310EFM100，.xE F与双曲线Cx（ii）EFyx2， 3 332当m10k时，直线l的方程为ykx10，过定点10,010且均满足4k2m210，当2k时，直线lykx2，直线过定点20，与已知矛盾，321所以m2k,m10k，化简，得3m216km20k20， 9即3m10km2k0,4k14k12m40，28km24m222所以k1，1 21222k1xxkm2xxm40所以因为DEDFDEDF,所以DEDF2x22y20， 81 212mkxxkmxxm2，2112yykxmkx又24k112xx4m42，4k21 2则有8kmxx21【答案（1）由f(x)exax可得f'(x)exa 1当a0时，fx在0,单调递增； 2，令，令exxxsin2xx2，则exsin2xxexsin2xx2gxexsin2xgx设当a0时，fx在,lna单调递减；在a,单调递增 4综上所述当a0时，fx在0,单调递增当a0时，fx在,lna单调递减在a,单调递增 5exsin2x(2)当x0时fx0成立，当x0时0恒成立即a x ， 6hxexx1xsin2xsin2x

hxxex2cos2x

pxex2cos

0x，当 3时，ex,2osx

px

x当 3时e

22cos2x

px

px0

hx0，hsin2sin21sin12

sin12 hx

tan故4

为增函数.又

3 ，因为 e4

e2.731624

he411 211 0 ，故e42

4

4

4

4 2 4

，故存x,10 4

h

x0,

gx

gx

xx0,

gx0

使得

时 ， 单调递减当 时 ，gx

g xgx

hxexxsin2xsi2x0

min 0

0 0