平面向量的坐标运算

2.3.2平面向量的坐标运算平面向量的坐标表示如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？探究：

如何计算？

（1）已知=(x1,y1),

=(x2,y2)，求

+

,

–

.（2）已知

=(x1,y1)和实数，求

的坐标.向量的坐标运算说明：两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。例1.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量的坐标.解：=(x2,y2)－(x1,y1)=(x2－x1，y2－y1)。说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。例2.在直角坐标系xOy中，已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求线段AB中点的坐标。解：设M(x,y)是线段AB的中点，则例3得到的公式，叫做线段中点的坐标公式，简称中点公式。

例3.已知□ABCD的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3,4)，求顶点D的坐标。解：=(－2,1)+(3,4)－(－1,3)=(2,2)所以D点的坐标是(2,2).Oxy11D(x,y)C(3,4)A(-2,1)A(-1,3)练习1.设向量a=(1,－3)，b=(－2,4)，c=(－1,－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为

.解：4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0,所以d=－6a－4b+4c=(－2,－6).2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量

,设起始P(－10,10),则5秒钟后点P的坐标为().解：5秒种后，P点坐标为

(－10,10)+5(4,－3)=(10,－5).3.设A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)满足(1)λ为何值时,点P在直线y=x上?(2)设点P在第三象限,求λ的范围.解:(1)设P(x,y)，则

(x－2,y－3)=(3,1)+λ(5,7),

所以x=5λ+5，y=7λ+4.解得λ=(2)由已知5λ+5<0,7λ+4<0,所以λ<－1.如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件?会得到什么样的重要结论?向量与非零向量平行(共线)的等价条件是有且只有一个实数,使得设即中,至少有一个不为0,则由得这就是说:的等价条件是

a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→3、其中≠

,a→0→有且只有一个实数λ，使得a→b=λ→即：（x2,y2)=λ(x1,y1)=(λx1,λy1)所以x2=λx1y2=λy1消去λ得：

x1y2-x2y1=0a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→其中x1y2-x2y1=0a∥→b→a∥→b→平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的两种表示形式:x1y2-x2y1=0(2)a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→有且只有一个实数λ,使得a→b=λ→(1)口诀：交叉相乘相等！例1已知a=（4，2）,b=（6，y）且a

∥b，求y的值.解：∵a

∥b∴4y-2×6=0

解得y=3典型例题例2已知点A(1，3)，B(3，13)，C(6，28)

求证：A、B、C三点共线.证明：∵AB=(3-1,13-3)=(2,10)BC=(6-3,28-13)=(3,15)∴2×25=5×10∴AB∥BC

又∵直线AB、直线BC有公共点B∴A、B、C三点共线典型例题例3:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。xyOP1P2P(1)M解:(1)所以，点P的坐标为xyOP1P2P(2)xyOP1P2P例4:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。xyOP1P2PxyOP1P2PxyOP1P2P

直线l上两点p1

、p2，在l上取不同于p1

、p

2的任一点P，则P点与p1

p2的位置有哪几种情形？

P在之间PP在的延长线上，PP在的延长线上.

P

能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定λ的取值范围吗？

存在一个实数λ，使，λ叫做点P分有向线段所成的比．

设，，P分所成的比为，如何求