平均数及其估计2

数学·必修3（苏教版）第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计情景切入我们已经学习了用图、表来组织、概括样本数据，并且学习了如何通过图、表所提供的信息，用样本的频率分布估计总体的分布．但是，在很多情况下，我们往往并不需要了解总体的分布形态，而是更关心总体的某一数字特征，如平均数、方差等．1．理解众数、中位数、平均数的意义．2．掌握平均数的计算方法并能用样本平均数估计总体平均数.

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栏目链接自主学习1．在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按从小到大的顺序依次排列，把处在________位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的________；如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么x＝______________叫做这n个数的平均数．2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图的面积________．,最多中间中位数相等

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栏目链接众数、中位数、平均数要点导航1．众数是样本观测值中出现次数最多的数，在频率分布直方图中它是最高的矩形的中点．样本众数通常用来表示分类变量的中心值，容易计算，但是它只能表达样本数据中的很少一部分信息．通常用于描述分类变量的中心位置．

2．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数不受几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)

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栏目链接要点导航的影响，容易计算．它仅利用了数据中排在中间的数据的信息．当样本数据质量比较差，即存在“一些错误数据”(如数据的录入错误或测量错误等)时，应该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值．

3．平均数是频率分布直方图的“重心”．由于平均数与样本的每一个数据都有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．因此，平均数可以反映出更多的关于数据全体的信息．一般情况下，一组数据的平均值可以反映出这组数据的一般情况，比如某班一次考试

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栏目链接要点导航成绩的平均分可以反映出该班学生该科的学习水平．但特殊情况下，平均值可能受某几个极端值的影响，而偏离一般情况．

4．众数、中位数、平均数的区别与联系：(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．(3)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题．(4)中位数仅与数据的

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栏目链接要点导航排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．

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例1有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下．[12.5，14.5)，6，0.06；[14.5，16.5)，16，0.16；[16.5，18.5)，18，0.18；[18.5，20.5)，22，0.22；[20.5，22.5)，20，0.20；[22.5，24.5)，10，0.10；[24.5，26.5]，8，0.08.试估计总体的平均数．

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由于每组的数据是一个范围，所以可以用组中值近似地表示平均数．分析：解析：

解法一：总体的平均数约为×(13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20＋23.5×10＋25.5×8)＝19.42.故总体的平均数约为19.42.解法二：求组中值与对应频率积的和．

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栏目链接典例剖析解析：13．5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.故总体的平均数约为19.42.

当条件给出某几个范围内的数据的频率或频数时，可用组中值求近似平均数．规律总结：

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栏目链接典例剖析变式训练1．为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表：每周做家务的时间/小时011.522.533.54人数2268121343根据上表中的数据，回答下列问题：(1)该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？(2)这组数组的中位数、众数分别是多少？

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栏目链接典例剖析解析：

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例2为了估计一次性筷子的用量，2010年某县从600家高、中、低档饭店中抽取10家，得到这些饭店每天消耗的一次性筷子的数据如下(单位：盒)；0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.(1)通过对样本数据的计算，估计该县2010年共消耗了多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)．

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栏目链接典例剖析(2)2012年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式做了抽样调查，调查结果是10家饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求该县2011年、2012年这两年一次性筷子用量平均每年增加的百分率．

(3)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做？简要说明你的做法．

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根据样本平均数估算总体平均数，进一步确定总体的数目．分析：解析：

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栏目链接典例剖析(2)由于2010年一次性筷子用量是平均每天2盒，而2012年用量是平均每天2.42盒，设平均每年增长的百分率为x，依题意有2.42＝2×(1＋x)2，解得x＝10%，所以该县2011年、2012年这两年一次性筷子的用量平均每年增长10%.(3)先采用简单随机抽样的方法抽取若干县(市)(作样本)，再从这些县(市)中采用分层抽样的方法抽取若干家饭店，统计一次性木质筷子的用量计算平均数，从而估计总体平均数，再进一步计算所消耗的木材总量．

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统计学的一个重要思想就是利用样本的信息来推断总体的有关信息，这样才能体会学习统计知识的作用和价值，我们要善于通过对表面随机现象进行统计分析，来揭示事物的内在规律．规律总结：

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栏目链接典例剖析变式训练2．某校在一次学生身体素质调查中，在甲、乙两班中随机抽10名男生测验100m短跑，测得成绩如下(单位：s)：甲15.114.814.11