新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案7第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第一讲函数的概念及其表示

练案[7]第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第一讲函数的概念及其表示A组基础巩固一、单选题1．(2023·深圳实验中学月考)下面各组函数中为相同函数的是(B)A．f(x)＝eq\r(x－12)，g(x)＝x－1B．f(x)＝x－1，g(t)＝t－1C．f(x)＝eq\r(x2－1)，g(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)D．g＝f(x)与y＝f(x＋1)[解析]若两个函数为相同函数，则它们的定义域、对应法则都相同．对于选项A：虽然f(x)＝eq\r(x－12)，g(x)＝x－1的定义域都为R，但函数f(x)＝|x－1|，它们的对应法则不同，排除A；对于选项C：因为f(x)＝eq\r(x2－1)，g(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)的定义域分别为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，[1，＋∞)，定义域不同，排除C；对于选项D：因为g＝f(x)与y＝f(x＋1)对应法则不同，因此排除D；对于选项B：因为f(x)＝x－1，g(t)＝t－1的定义域都为R，对应法则也都相同，所以它们为相同函数，选B.2．函数y＝log2(2x－4)＋eq\f(1,x－3)的定义域是(D)A．(2,3) B．(2，＋∞)C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)[解析]由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4>0，,x－3≠0，))解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋eq\f(1,x－3)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．3．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x>1，))则feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))的值为(A)A.eq\f(15,16) B．－eq\f(27,16)C．eq\f(8,9) D．18[解析]因为当x>1时，f(x)＝x2＋x－2，所以f(2)＝22＋2－2＝4，eq\f(1,f2)＝eq\f(1,4).又当x≤1时，f(x)＝1－x2，所以feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(15,16).故选A.4．(2022·全国高三专题练习)已知函数f(x2＋1)＝x4，则函数y＝f(x)的解析式是(B)A．f(x)＝(x－1)2，x≥0 B．f(x)＝(x－1)2，x≥1C．f(x)＝(x＋1)2，x≥0 D．f(x)＝(x＋1)2，x≥1[解析]f(x2＋1)＝x4＝(x2＋1)2－2(x2＋1)＋1，且x2＋1≥1，所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x≥1.故选B.5．(2022·全国高三专题练习)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，那么函数f(x＋2)的定义域和值域分别是(C)A．[0,1]，[1,2] B．[2,3]，[3,4]C．[－2，－1]，[1,2] D．[－1,2]，[3,4][解析]令x＋2∈[0,1]得x∈[－2，－1]，即为函数y＝f(x＋2)的定义域，而将函数y＝f(x)的图象向左平移2个单位即得y＝f(x＋2)的图象，故其值域不变．故选C.6．(2022·衡水调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥0，,3x2，x<0，))且f(x0)＝3，则实数x0的值为(C)A．－1 B．1C．－1或1 D．－1或－eq\f(1,3)[解析]由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＝3，所以x0＝－1.所以实数x0的值为－1或1.7．函数y＝1＋x－eq\r(1－2x)的值域为(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))[解析]解法一：设eq\r(1－2x)＝t，则t≥0，x＝eq\f(1－t2,2)，所以y＝1＋eq\f(1－t2,2)－t＝eq\f(1,2)(－t2－2t＋3)＝－eq\f(1,2)(t＋1)2＋2.因为t≥0，所以y≤eq\f(3,2).所以函数y＝1＋x－eq\r(1－2x)的值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，故选B.解法二：函数是增函数，当x＝eq\f(1,2)时，ymax＝eq\f(3,2)，故值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).8．(2022·湖北荆门市龙泉中学一模)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2，－1<x<2，))关于函数f(x)的结论正确的是(B)A．f(0)＝2B．f(x)的值域为(－∞，4)C．f(x)<1的解集为(－1,1)D．若f(x)＝3，则x的值是1或eq\r(3)[解析]因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2，－1<x<2，))函数图象如下所示：由图可知f(0)＝0，故A错误；f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；由f(x)<1解得(－∞，－1)∪(－1,1)，故C错误；f(x)＝3，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,－1<x<2，))解得x＝eq\r(3)，故D错误；故选B.9．(2022·江西南昌一模)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(B)A．2 B．eq\r(2)C．1 D．0[解析]作出函数f(x)的图象，f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上分别单调递增，由f(a－3)＝f(a＋2)，若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋2>0，))即－2<a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝eq\r(a＋2)，所以a＝eq\r(a＋2)，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不满足a＝eq\r(a＋2)，舍去)，此时a＝2满足题意，则f(a)＝eq\r(2)，若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3>0，,a＋2≤0，))此时不存在满足条件的a，故选B.二、多选题10．下列图象中，能表示函数的图象的是(ABC)[解析]显然，对于选项D，当x取一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，因此选ABC.11．函数f(x)＝eq\f(x,1＋x2)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是(AD)A．f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) B．－f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))C.eq\f(1,fx)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) D．f(－x)＝－f(x)[解析]根据题意得f(x)＝eq\f(x,1＋x2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(\f(1,x),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2)＝eq\f(x,1＋x2)，所以f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))；f(－x)＝eq\f(－x,1＋－x2)＝－eq\f(x,1＋x2)＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)．12．(2022·张家界质检)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x，x≤a，,2x，x>a，))若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为(AB)A．－1 B．0C．1 D．2[解析]若a<0，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若0≤a<1，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若a≥1，则f(0)＝1，f(1)＝0，f(1)＝2f(0)不成立．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．三、填空题13．(2022·安徽合肥一中模拟预测)函数y＝eq\r(x4－x)的定义域是_[0,4]__.[解析]y＝eq\r(x4－x)的定义域需满足x(4－x)≥0⇒0≤x≤4，所以函数的定义域是[0,4]．14．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋\r(x)，x≥0，,3x，x<0，))则f[f(－2)]＝eq\f(7,3).[解析]∵f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9)，∴f[f(－2)]＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝2＋eq\r(\f(1,9))＝eq\f(7,3).15．函数y＝eq\r(16－4x)的定义域为_(－∞，2]__；值域为_[0,4)__.[解析]16－4x≥0,4x≤16，∴x≤2定义域是(－∞，2]．∵0≤16－4x<16，∴0≤eq\r(16－4x)<4.16．已知函数f(x)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋eq\f(1,x)f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝eq\f(7,2)；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(9,4).[解析]令x＝2，可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋eq\f(1,2)f(－2)＝4，①令x＝－eq\f(1,2)，可得f(－2)－2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1，②联立①②解得f(－2)＝eq\f(7,2).feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(9,4).17．函数y＝log0.3(x2＋4x＋5)的值域为_(－∞，0]__.[解析]设u＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1≥1，∴log0.3u≤0，即y≤0，∴y∈(－∞，0]．B组能力提升1．(多选题)下列函数中，与函数y＝eq\f(1,\r(3,x))定义域不同的函数为(ABC)A．y＝eq\f(1,sinx) B．y＝eq\f(lnx,x)C．y＝xex D．y＝eq\f(sinx,x)[解析]因为y＝eq\f(1,\r(3,x))的定义域为{x|x≠0}，而y＝eq\f(1,sinx)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，y＝eq\f(lnx,x)的定义域为{x|x>0}，y＝xex的定义域为R，y＝eq\f(sinx,x)的定义域为{x|x≠0}，故选ABC.2．(多选题)下列函数中值域为R的有(ABD)A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg(x2－2)C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，0≤x≤2，,2x，x>2)) D．f(x)＝x3－1[解析]A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件；B项，由x2－2>0得x>eq\r(2)或x<－eq\r(2)，此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件；C项，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，0≤x≤2，,2x，x>2，))当x>2时，f(x)＝2x>4，当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，所以f(x)≥0，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；D项，f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件．3．(2023·安徽马鞍山第一次教学质量检测)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则f(1)＋f(eq\r(2))＋f(eq\r(3))＋…＋f(eq\r(2022))＝(A)A．44 B．45C．1009 D．2019[解析]由442＝1936,452＝2025可得eq\r(1)，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(2022)中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f(1)＋f(eq\r(2))＋f(eq\r(3))＋…＋f(eq\r(2022))＝44.4．(2023·人大附中月考)下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx≤0，,\f(1,x)x>0.))其中定义域与值域相同的函数的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①y＝3－x的定义域和值域均为R，②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，④y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx≤0，,\f(1,x)x>0，))的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.5．(2023·石家庄模拟)若函数f(x)＝eq\r(x－2)