第四章高阶线性微分方程

1第四章高阶线性微分方程

Higher-OrderLinearODE2§4.1高阶线性微分方程的一般理论

§4.2常系数高阶线性方程的解法§4.3高阶方程的降阶和幂级数解法本章内容/MainContents/

CH.4Higher-OrderLinearODE3

理解高阶线性方程解的性质和解的结构

熟练掌握常系数高阶线性方程的解法本章要求/Requirements/

掌握高阶方程的一般解法CH.4Higher-OrderLinearODE4§4.1高阶线性微分方程的一般理论

§4.2常系数高阶线性方程的解法§4.3高阶方程的降阶和幂级数解法本章目录/MainContents/

CH.4Higher-OrderLinearODE5§4.1高阶线性微分方程的

一般理论

/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/6

理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构

理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求/Requirements/7n

阶线性微分方程一般形式：其中是区间上的连续函数。称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。4.1.1引言

/Introducation/

n

阶微分方程一般形式：8方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：定理1及都是区间则对于任一及任意的方程（4.1）存在，定义于区间上的连续函数,唯一解如果94.1.2齐线性方程解的性质与结构

定理2

（叠加原理）如果则它们的线性组合的解，这里是任意常数。是方程（4.2）也是（4.2）的k个解，例有解10证明11问题：时，若能否成为方程（4.2）的通解？不一定不包含解要使为方程（4.2）的通解还需满足一定的条件。?当是齐线性方程的解，如在上例中12函数线性无关和相关定义在上的函数，如果存在使得恒等式不全为零的常数对所有成立，称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。如上线性无关上线性相关上线性无关要使得则13定义在区间上的k个可微k-1次的函数所作成的行列式称为这些函数的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式14

定理3在区间上线性相关，上它们的伏朗斯基行列式。则在证明由假设，即知存在一组不全为零的常数（4.6）（4.7）使得依次对t微分此恒等式，得到若函数的齐次线性代数方程组，关于15它的系数行列式方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即由线性代数理论证毕其逆定理是否成立？例如：即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。不一定16故是线性无关的。17如果方程(4.2)的解在区间上线性无关，则任何点上都不等于零，即在这个区间的定理4设有某个，使得考虑关于的齐次线性代数方程组证明

反证法（4.9）18其系数行列式，故（4.9）有非零解构造函数根据叠加原理，是方程（4.2）的解，且满足初始条件由解的唯一性知，即因为不全为0，与的假设矛盾。（4.10）另也是方程(4.2)的解，线性无关证毕也满足初始条件（4.10）19定理5

n

阶齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解，线性相关定理4定理3重要结论方程(4.2)的解在区间上线性无关的充分必要条件是且任意n+1个解都线性相关。证明在上连续，取则满足条件存在唯一。20线性无关。即齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。任取方程(4.2)的n+1个解，21任意n+1个解都线性相关。22

定理6（通解结构）其中是任意常数，且通解（4.11）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）包括方程（4.2）的所有解。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。如果n

阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。作业：23

4.1.3非齐线性方程与常数变易法

性质1

如果是方程（4.1）的解，而（4.2）的解，则性质2

方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。是方程也是方程（4.1）的解。24是任意常数，且通解（4.14）包括定理7为方程（4.2）的基本解组，是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解为其中（4.14）设方程（4.1）的所有解。证明1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n个独立的任意常数，是通解。2)是方程（4.1）的任一个解，则是方程（4.2）的解证毕25设为方程（4.2）的基本解组，为（4.2）的通解。（4.15）（4.16）非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基解组表示关键常数变易法为（4.1）的解。26令27（4.16）代入方程（4.1）28方程组有唯一的解，设为（4.16）29特解通解非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构:通解与自身的一个特解之和。30例1

求方程基本解组为，的通解，已知它对应齐线性方程的解解得原方程的通解为令31例2

求方程于域解对应的齐线性方程为上的所有解。得易见有基本解组这里A、B

为任意常数。设为方程的解故得原方程的通解（为任意常数)

32作业：P.112，第4，6，7，8，9题练习题，并求方程的基本解组为1验证的通解。2求方程方程的基本解组为，的通解，已知它对应齐线性思考题常数变易法中待定函数的条件如何选择？33§4.2

常系数线性微分方程的解法SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE

34§4.1内容回顾

解的性质与结构。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。♣

n

阶齐次线性方程的所有解构成一个n维线性空间。

§4.1GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE35本节要求/Requirements/

熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法

熟练掌握常系数非齐次线性方程的求解方法

熟练掌握欧拉方程的求解方法36非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构通解与自身的一个特解之和。齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示。非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基解组表示关键常数变易法§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE374.2.1复值函数与复值解/ComplexFunctionandComplexSolution/一定义极限连续导数§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE38易验证如§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE39二关于定义表示§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE40的性质1）2）3）结论实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式一致。实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指数函数的性质一致。§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE41三线性方程的复值解/ComplexSolutionofLinearHigher-OrderODE如果定义在上的实变量的复值函数满足方程为方程的一个复值解。则称如果方程4.2中所有系数都是实值函数，而是方程的复数解，的实部，虚部和共轭复数函数也是方程4.2的解。

定理8则§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE42定理9

若方程有复数解,这里及都是实函数。那么这个解的实部和虚部分别是方程和的解。§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE434.2.2常系数齐线性方程和欧拉方程/CoefficientLinearHomogenousHigher-OrderODEAndEulerEquation/…….(4.19)为常数。其中为了求方程(4.19)的通解，只需求出它的基本解组。n

阶常系数齐次线性方程…….(4.21)满足结论：是方程(4.19)的解的充要条件满足特征方程特征根§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE44下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。

特征根为单根的情况是特征方程（4.21）的n个互不相等的根，设则相应的方程（4.19）有如下n个解这n个解在区间的基本解组。事实上，上线性无关，从而组成方程§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE45是方程的基本解组。方程4.19的通解可表示为范德蒙(Vandermonde)行列式§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE46如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数。复根将成对共轭的出现，设方程的一个特征根也是一个特征根则方程（4.19）有两个复值解对应两个实值解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE47例1求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE48例2求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE492)特征根有重根的情况是特征方程（4.21）的m个互不相等的根。设…….(4.19)…….(4.21)重数设是

k1

重特征根§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE50显然是方程的k1

个线性无关的解，方程(4.19)有

k1

重零特征根方程恰有k1

个线性无关的解设是

k1

重特征根令…….(4.19)§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE51…….(4.23)特征方程§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE52(4.19)的k1重特征根(4.23)的k1

重特征根零§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE53方程(4.23)恰有k1

个线性无关的解由方程(4.19)恰有k1

个线性无关的解类似地基本解组(4.26)§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE54证明假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数使得(4.27)假定多项式至少有一个系数不为零，则不恒为零，微分k1

次§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE55不恒为零，不恒为零，矛盾！中函数线性无关，其构成的解本解组。(4.26)§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE56方程的一个重特征根也是一个重特征根它们对应2个线性无关的实解是§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE57例3求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE58例4求方程的通解。解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解二重根§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE59作业：P.113，第4，6，7，8，9题P.145，第2，3，4，5，6题§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE60可化为常系数线性方程的方程-------欧拉(Euler)方程

为常数。其中引入自变量代换§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE61假设自然数m

有以下关系式成立，§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE62对一切自然数m

均有以下关系是成立，原方程可化为常系数线性方程§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE63欧拉方程常系数线性方程确定求解欧拉方程的过程设是欧拉方程的解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE64解齐次欧拉方程的步骤第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出的基本解组先求出变换以后方程的基本解组再求出原方程的基本解组第三步：写出原方程的通解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE65例5求方程的通解。解第三步：写出通解第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解组§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE66例6求方程的通解。解第三步：写出通解第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解组作业：

P.146，第12—26题。§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE674.2.3

非齐次线性方程解法

------比较系数法与拉普拉斯变换法

68令L为线性微分算子。为常数，为连续函数。§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE69基本解组或通解常数变易法特解相加比较系数法与拉普拉斯变换法§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE70（一）比较系数法/ComparisonCoefficientsMethod/类型Ⅰ/TypeOne/其中为确定的实常数。§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE71结论1当方程(4.32)中右端函数f(t)为以上类型时，方程(4.32)有一特解为以下形式其中为待定系数，对应的特征方程来决定，由(4.32)是特征根时，为的重数，不是特征根时，§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE72§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE73即证明能由已知条件唯一确定。（1）不是特征根1）要证明(4.32)有解比较同次幂的系数，得事实上，将其代入方程，§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE74可唯一确定。§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE75其特征方程为

（2）是k重特征根也就是原方程为令§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE76对方程(4.36)，不是(4.36)的特征根，有如下形式的特解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE77为确定的数。§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE78为确定的常数。2）如果引入当是(4.32)

的k重特征根，则0就是(4.37)的k

重特征根§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE79当不是(4.32)

对应齐次方程的特征根，则0就不是(4.37)的特征根。利用1）的讨论，故(4.37)有形如以下的特解(4.32)有形如的特解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE80当是(4.32)

的k重特征根，(4.32)有特解为则0就是(4.37)的k

重特征根§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE81例1解通解用比较系数法求一特解0不是特征根，则方程有形如的特解通解求方程的通解.先求对应齐次方程的通解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE82解

-1是特征根，通解例2求方程的通解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE83解设例3求方程的通解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE84例4

求的通解.原方程化为解变换后，对应齐次方程的特征方程为变换后，为常系数方程§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE85原方程的通解为§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE86若有特解有特解则有特解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE87练习特解特解§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE88类型Ⅱ/TypeTwo/其中为实数，是的实系数多项式§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE89方程(4.32)有特解由决定当是特征方程为重数是次数不高于的多项式，的根时，当不是特征方程的根时，结论2§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE90§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE91§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE92显然§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE93§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE94是次数不高于的多项式。§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE95例5

求方程的通解设方程的特解形如：解齐次方程的通解为原方程的通解为§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE96练习解的特解.试求方程§4.2SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE97若（二）拉普拉斯变换法/LaplaceTransform/附录1拉普拉斯变换§1拉普拉斯变换定义/DefinitionofLaplaceTransform/

对于在上有定义的函数对于已给的一些（一般为复数）存在，则称为函数的拉普拉斯变换，记为98f(t)称为LaplaceTransform

的原函数，F(s)称为f(t)的象函数.拉普拉斯变换法存在性/ExistenceofLaplaceTransform/

是分段连续的,并且常数假若函数在的每一个有限区间上使对于所有的都有成立则当时,的LaplaceTransform是存在的。§1DefinitionofLaplaceTransform

99

例1当即§1DefinitionofLaplaceTransform

100例2(是给定的实数或复数)§1DefinitionofLaplaceTransform

101§2拉普拉斯变换的基本性质/PropertiesofLaplaceTransform/

1线性性质如果是原函数,和是任意两个常数(可以是复数)，则有左=右§2PropertiesofLaplaceTransform

102显然，若为实函数，例1

如果原函数为为实函数，则则§2PropertiesofLaplaceTransform

103§2PropertiesofLaplaceTransform

1042原函数的微分性质如果都是原函数，则有或如果在处不连续，则理解为§2PropertiesofLaplaceTransform

105证假定成立§2PropertiesofLaplaceTransform

106证毕3

象函数的微分性质§2PropertiesofLaplaceTransform

107另外，令§3拉普拉斯逆变换/InverseofLaplaceTransform/已知象函数，求原函数也具有线性性质108§3InverseofLaplaceTransform109由线性性质可得如果的拉普拉斯变换可分解为并假定的拉普拉斯变换容易求得，即则§3InverseofLaplaceTransform110例1

求的Laplace反变换解§3InverseofLaplaceTransform111例2

求的Laplace反变换解§3InverseofLaplaceTransform112(二)拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解)为常数令§3InverseofLaplaceTransform113给(4.32)两端施行LaplaceTransform§3InverseofLaplaceTransform114解令例3满足初始条件

求的特解§3InverseofLaplaceTransform115令例4

求满足初始条件的特解解§3InverseofLaplaceTransform116§3InverseofLaplaceTransform117例5

求满足初始条件的特解令解§3InverseofLaplaceTransform118作业:用LaplaceTransform

求P.146第25,26题练习求方程满足初始条件的特解，其中a为非零常数。§3InverseofLaplaceTransform119§4.3高阶方程的降阶法

和幂级数解法

Step-downOrderMethodandSeriesMethod120§4.2内容回顾12方程类型121基本解组或通解常数变易法特解相加比较系数法拉普拉斯变换法求解方法122本节内容/Contents/

1.几类可降阶高阶方程2.幂级数解法（求特解）1231)方程不显含未知函数及则方程可降为阶的方程，即可降阶4.3.1可降阶的方程的类型n阶方程的一般形式§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod124方法令则的通解若可求得逐次积分次，可得原方程的通解。§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod125特别，对于二阶方程积分，可得原方程的通解§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod126解令例1求方程的通解。§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod1272)不显含自变量的方程可降低一阶方法令§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod128假定将代入原方程§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod129降低一阶分离变量，可得原方程的解。§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod130例2

求解方程或解令§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod131§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod132则(4.2)的基本解组可以求得。可降低k阶，即可得到n-k

阶的齐次线性方程。3)齐次线性方程已知(4.2)的

k

个线性无关的特解，则(4.2)结论特别地，如果已知(4.2)的n-1个线性无关的解，§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod133令方法

设是(4.2)的k个线性无关的解§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod134令n-1阶线性方程可将化为阶线性方程或§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod135同理，对于就知道了个非零解且其线性无关，线性无关，§4.3