第6章 双变量线性回归模型的延伸

第6章双变量线性回归模型的延伸§6.1过原点回归在实践中，双变量PRF有时采取如下的形式：（6.1.1）此模型的特点是没有截距项，因此被称为过原点回归（regressionthroughtheorigin）。适用于这种模型的例子：M·弗里德曼的持久收入假说（permanentincomehypothesis）；资本资产定价模型（CAPM），等等。下面以资本资产定价模型为例来加以说明。CAPM：thecapitalAssetPricingModel.（6.1.2）这就是所谓风险溢价或升水（risk-premium）的形式。

其中：——第i种证券的期望回报率——市场组合证券的期望回报率，比如，它可用标准蒲尔S&P500股票指数来代表。——无风险回报，比如，90天国库券回报率——Beta系数，指不能通过分散化而消除的系统风险（systematicrisk）的一种度量，也用来指第i种证券回报与市场互动程度的一种度量。，该证券是易波动性的（volatile）或进攻型（aggressive）证券；，为防御型（defensive）证券。——第i种证券的期望风险溢价——期望市场风险溢价如果资本市场能够有效运行，则CAPM要求：（6.1.2）式成立。于是，可以得到P150图6.1，这条直线就叫做证券市场线（securitymarketline,即SML）。为了做实证研究，（6.1.2）也常常写成：（6.1.3）或：（6.1.4）（6.1.4）式就是所谓的市场模型（MarketModel）。需要注意的是：①这里的解释变量为波动性系数，而不是。而需要从特征线（characteristicline）中估计出来，见P137习题5.5。②CAPM成立，则预期为零。这样的模型如何估计呢？这类模型的SRF可以写成：（6.1.5）OLS法：对求一阶条件：（2）

（6.1.6）下面求的方差：将PRF：代入（6.1.6）式得：

（5）

（6.1.7）将（5）式的右端展开，注意到是非随机的，，且无自相关。（2）式意味着：（7）总体方差的估计式为：（6.1.8）把上述公式和下面的有截距项的模型的公式比较一下：

（3.1.6）

（3.3.1）可见：第一，对有截距项的模型来说，；对无截距项的模型，不一定成立，只有。第二，对有截距项的模型，判定系数；但是，对无截距模型来说，有时可能出现负值。这时，一般可以计算“粗”：而对于有截距的模型：对于无截距的模型：

于是有可能再现，∴RSS有可能大于TSS，所以，。但是，在截距项经过检验在统计上不显著时，用过原点回归模型将提高估计的准确性。§6.2尺度与测量单位在回归分析中，因变量Y和解释变量X的测量单位的不同会造成回归结果的差异吗？令：（6.2.1）其中，Y代表GPDI（GossPrivateDomesticInvestment），X代表GNP，见P157Table6.2定义：（6.2.2）（6.2.3）其中，和为常数，称为尺度因子；和可相等或不等。如果和是以10亿美元计量的，我们把它们改为用百万美元去度量，就会有：，，运用和的回归为：（6.2.4）其中，，，并且。用OLS法，得：（6.2.10）

（6.2.11）

（6.2.12）

（6.2.13）

（6.2.14）把上述结果和第3章OLS估计量结果进行比较，可见：

（6.2.20）结论：（1）当，即尺度因子相等时，斜率系数及其标准误不受尺度从（）到（）的影响。截距及其标准误却放大或缩小至倍。（2）X尺度不变（），Y尺度因子变化，那么，斜率和截距系数以及它们各自的标准误都要乘以同样的因子。（3）Y尺度不变（），而X尺度因子变化，那么，斜率系数及其标准误都要乘以因子，而截距系数及其标准误不变。§6.4回归模型的函数形式我们将讨论以下的三种回归模型：1．对数线性模型2．半对数模型3．倒数模型§6.5如何测度弹性：对数线性模型指数回归模型（exponentialregressionmodel）（6.5.1）可化为：（6.5.2）表示自然对数（naturallog）。

进一步可以写为：（6.5.3）其中。这个模型对参数和为线性的，因而可以用OLS法来做回归分析。这种模型被称为对数一对数（log-log），双对数（double-log）或对数一线性（log-linear）模型。如果令，，则（6.4.3）式可以写成：（6.5.4）这样以来，就可以直接使用OLS法做回归，所得的，分别是，的最佳线性无偏估计量。双对数模型的一个最大的优点是，斜率就是Y对X的弹性：

如果Y代表商品需求量Q，X代表商品价格P，可见就表示该商品的需求价格弹性。而弹性在经济学中具有广泛的运用：对数——线性模型有两个特点：①Y对X的弹性在整个研究范围内是常数，一直为，因此这种模型也称为不变弹性模型（constantelasticitymodel）。②虽然和是无偏估计量，但是进入原始模型的参数的估计值却是有偏估计，∵（等于的反对数）§6.6半对数模型线性到对数与对数到线性模型