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文档简介

例1.

计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:

由得交点第五章定积分的的应用

例2.

计算抛物线与直线的面积.解:

由得交点所围图形为简便计算,选取

y

作积分变量,则有例1

求解微分方程解分离变量两端积分的通解。即为所求的通解。第六章分离变量法;

常数变易法;

特征方程法.

例2.

解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为例3求微分方程的一个特解解所对应的齐次方程的特征方程解得根为由于不是特征方程的根，设特解为代入所给方程，得比较同次幂的系数，得求得的特解为解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例4例1

求过点(2,-3,0)且以n=(1,-2,3)位法线向量的平面的方程.

解

根据平面的点法式方程(1)，得所求平面的方程

(x-2)–2(y+3)+3z=0,即

x–2y+3z–8=0

第七章

平面方程.

例2

求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面的方程.解先找出这平面的法线向量n.由于向量n与向量

都垂直，而

＝(-3,4,-6),

=(-2,3,-1)，

所以可取它们的向量积为n：

n=

=

=14i+9j–k,

根据平面的点法式方程(1)，得所求的平面的方程为14(x-2)+9(y+1)–(z–4)=0,14x+9y–z–15=0.返回例1

计算函数在点(2,1)处的全微分.

解例2

计算函数的全微分.

解第八章偏导数及全微分；抽象函数的二阶偏导数的计算;多元复合函数和隐函数的求导法则;空间曲线的切线和法平面;空间曲面的切平面和法线的计算方法.

例3

设解例4解例5

设

求全导数解例6

设

f

具有二阶连续偏导数,求解令则解令则例7设04222=-++zzyx，求22xz¶¶.例8

求曲线,,,32tztytx===在点处的(1,1,1)切线与法平面方程解因为,3=,2=,1=2tztyxttt而点(1,1,1)对应的参数,1=t所以

)3,2,1(=T于是，切线方程为

,312111-=-=-zyx法平面方程为

6=3+2+zyx

例9求曲线6222=++zyx，0=++zyx在点)1,2,1(-处的切线及法平面方程.解2

将所给方程的两边对x求导并移项，得所求切线方程为法平面方程为由此得切向量例1.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.

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