广东省深圳市南山区南外集团华侨城中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

南外集团华侨城中学2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，质地均匀的转盘被平均分成了6份，分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色，转动一次转盘（指针恰好指在分界线时重转），指针恰好落在红色区域的概率为（）A． B． C． D．3．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根4．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝76．若，则的值为（）A． B． C． D．7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（）A． B． C． D．48．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800 B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800 C．54×38﹣54x﹣38x＝1800 D．54x+38x＝18009．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B． C． D．410．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC+FG＝1.5，其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②二．填空题（每题3分，共15分）11．分解因式：2ab2﹣8a＝．12．一个暗箱里放有a个白球和3个红球，它们除颜色外完全相同．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是．13．设m是方程x2﹣x+2023＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为．14．在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为．三．解答题（共55分）16．（8分）解方程：（1）2x2+3x﹣5＝0； （2）x2﹣4x﹣12＝0．17．（6分）先化简，再求值（﹣）÷．其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一个．18．（6分）为响应国家全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育活动，某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．（1）参加这次调查的学生总人数为人；类别C所对应扇形的圆心角度数为°；（2）请补全条形统计图；（3）类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行约谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．19．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，点F是BC上一点，若将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，过点E作EG∥BC交DF于点G，连接CG．（1）求证：四边形EFCG是菱形；（2）当∠A＝∠B时，求点B到直线EF的距离．20．（8分）随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？21．（9分）阅读材料：x4﹣6x2+5＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是方程变为y2﹣6y+5＝0①，解这个方程，得y1＝1，y2＝5，当y1＝1时，x2＝1，x＝±1，当y＝5时，x2＝5，x＝±，所以原方程有四个根x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝（1）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．（2）Rt△ABC的三边是a，b，c，其中斜边c＝4，两直角边a，b满足（a+b）2﹣7（a+b）+10＝0，求Rt△ABC的周长和面积．22．（10分）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：；．问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B．​ C． D．​【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；D．该图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意．故选：D．2．如图，质地均匀的转盘被平均分成了6份，分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色，转动一次转盘（指针恰好指在分界线时重转），指针恰好落在红色区域的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：∵质地均匀的转盘被平均分成了6份，即转盘被分成6个相同的扇形，分别涂上红、黄、绿、蓝四种颜色，其中红色的有2个扇形，∴转动一次转盘（指针恰好指在分界线时重转），指针恰好落在红色区域的概率为＝．故选：C．3．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．4．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分【解答】解：因为矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．故选：A．5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7【解答】解：∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，∴（x﹣2）2＝7．故选：C．6．若，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴设a＝2k，b＝9k（k≠0），∴，故选：A．7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（）​A． B． C． D．4【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝＝＝5，∵DH⊥BC，∴S菱形ABCD＝BC•DH＝AC•BD，即5DH＝×8×6，解得：DH＝，故选：C．8．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800 B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800 C．54×38﹣54x﹣38x＝1800 D．54x+38x＝1800【解答】解：设道路的宽为x米，则种植草坪的部分可合成长（54﹣x）米，宽为（38﹣x）米的矩形，依题意得：（54﹣x）（38﹣x）＝1800．故选：A．9．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B． C． D．4【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．10．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG＝112.5°④BC+FG＝1.5，其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠CAD＝∠CAB＝45°，∵△DHG是由△DBC旋转得到，∴DG＝DC＝AD，∠DGE＝∠DCB＝∠DAE＝90°，在RT△ADE和RT△GDE中，，∴RT△AED≌RT△GED（HL），故②正确；∴∠ADE＝∠EDG＝22.5°，AE＝EG，∴∠AED＝∠AFE＝67.5°，∴AE＝AF＝EG，又∵∠H＝∠DBC＝∠DAC＝45°，∴GH∥AC，∴四边形AEGF是菱形，故①正确；∵∠DFG＝∠GFC+∠DFC＝∠BAC+∠DAC+∠ADF＝112.5°，故③正确；∵AE＝FG＝EG＝BG，BE＝HE，∴BE＞AE，∴AE＜，∴CB+FG＜1.5，故④错误．故选：B．二．填空题（共5小题）11．分解因式：2ab2﹣8a＝2a（b+2）（b﹣2）．【解答】解：2ab2﹣8a，＝2a（b2﹣4），＝2a（b+2）（b﹣2）．故答案为：2a（b+2）（b﹣2）．12．一个暗箱里放有a个白球和3个红球，它们除颜色外完全相同．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是12．【解答】解：根据题意知×100%＝20%，解得a＝12，经检验：a＝12是原分式方程的解，所以推算出a的值大约是12，故答案为：12．13．设m是方程x2﹣x+2023＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为﹣2022．【解答】解：由题意知，m2﹣m+2023＝0，∴m2﹣m＝﹣2023，∴m2﹣m+1＝﹣2022，故答案为：﹣2022．14．在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为x（x﹣1）＝28．【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝28，故答案为：x（x﹣1）＝28．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为3．【解答】解：连接CN．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝4，∵NB′＝NA′，∴CN＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，∴MN≤CN+CM＝3，∴MN的最大值为3，故答案为3．三．解答题（共8小题）16．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝2；（2）x2﹣4x+8＝0．【解答】解：（1）方程整理得：2x2+3x﹣6＝0，这里a＝2，b＝3，c＝﹣6，∵Δ＝b2﹣4ac＝9+48＝57＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝；（2）方程整理得：x2﹣4x＝﹣8，配方得：x2﹣4x+4＝﹣4，即（x﹣2）2＝﹣4＜0，∴此方程无解．17．先化简，再求值（﹣）÷．其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一个．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]×，＝2x+8，由分式有意义可得x≠﹣2、0或2，当x＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）+8＝6．18．为响应国家全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育活动，某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．（1）参加这次调查的学生总人数为40人；类别C所对应扇形的圆心角度数为54°；（2）请补全条形统计图；（3）类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行约谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．【解答】解：（1）参加这次调查的学生总人数为20÷50%＝40（人）．类别C的人数为40﹣20﹣10﹣4＝6（人），类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×＝54°．故答案为：40；54．（2）补全条形统计图如图所示．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好都是男生的结果有6种，∴所选取的2名学生恰好都是男生的概率为＝．19．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝4，点F是BC上一点，若将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，过点E作EG∥BC交DF于点G，连接CG．（1）求证：四边形EFCG是菱形；（2）当∠A＝∠B时，求点B到直线EF的距离．【解答】（1）证明：∵将△DCF沿DF折叠，点C恰好与AB上的点E重合，∴∠CFD＝∠EFD，CF＝EF，CG＝EG，∵EG∥BC，∴∠EGF＝∠CFD，∴∠EGF＝∠EFD，∴EG＝EF，∴EG＝EF＝CF＝CG，∴四边形EFCG是菱形；（2）解：∵∠A＝∠B，∴四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵AB＝5，BC＝4，∴AE＝3，∴BE＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，∴22+BF2＝（4﹣BF）2，解得BF＝，∴EF＝，设点B到直线EF的距离为h，∴＝，解得h＝，∴点B到直线EF的距离为．20．随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？【解答】解：（1）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，根据题意可得：2000（1+x）2＝12500，解得：x1＝1.5＝150%，x2＝﹣3.5（不合题意舍去），答：该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；（2）设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机（100﹣a）架，需要成本为w元，依据题意可得：a≤3（100﹣a），解得：a≤75，w＝200a+300（100﹣a）＝﹣100a+30000，∵﹣100＜0，∴当a的值增大时，w的值减小，∵a为整数，∴当a＝75时，w取最小值，此时100﹣75＝25，w＝﹣100×75+30000＝22500，∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．21．（9分）阅读材料：x4﹣6x2+5＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是方程变为y2﹣6y+5＝0①，解这个方程，得y1＝1，y2＝5，当y1＝1时，x2＝1，x＝±1，当y＝5时，x2＝5，x＝±，所以原方程有四个根x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝（1）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．（2）Rt△ABC的三边是a，b，c，其中斜边c＝4，两直角边a，b满足（a+b）2﹣7（a+b）+10＝0，求Rt△ABC的周长和面积．【解答】解：（1）解：设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a﹣12＝0，解得a＝﹣2或6，当a＝﹣2时，x2﹣x+2＝0Δ＝（﹣1）2﹣8＝﹣7＜0，此方程无实数根，当a＝6时，即x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2∴原方程有两个根x1＝3，x2＝﹣2．（2）设x＝a+b，则原方程为x2﹣7x+10＝0，解得：x＝2或x＝5，即a+b＝2，a+b＝5，由斜边c＝4，舍去a+b＝2，Rt△ABC的周长为4+5＝9；由勾股定理得a2+b2＝42，则（a+b）2﹣2ab＝16解得：ab＝，因此Rt△ABC的面积＝ab＝．22．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是D．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：①AC＝BD；②AC⊥BD．问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．【解答】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，故选：D；性质探究：①AC＝BD，②AC⊥BD；理由如下：如图1，∵四边形ABCD是“中方四边形”，∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴∠FEH＝90°，EF＝EH，EH∥BD，EH＝BD，EF∥AC，EF＝AC，∴AC⊥BD，AC＝BD，故答案为：AC⊥BD，AC＝BD；问题解决：如图2，取