广东省深圳市东北师范大学深圳坪山实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

东北师大深圳坪山实验学校2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2y＝0 B．2﹣x2＝0 C．2x＝1 D．+x＝22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知OA＝3，则BD等于（）A．3 B．4 C．5 D．63．若＝，则的值为（）A． B． C． D．4．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0时，方程变形正确的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝75．图中，有三个矩形，其中相似的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．没有相似的矩形6．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（）A．32个 B．36个 C．40个 D．42个7．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．508．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AC＝BD D．AC⊥BD9．若关于x的方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≤0且m≠1 C．m≤0 D．m＜010．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2＝PH•CD；④．其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（每题3分，共15分）11．一元二次方程x（x﹣7）＝0的解是．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为．13．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则点P在第三象限的概率是．14．已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则等于．15．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值是．三．解答题（共55分）16．解方程：（1）x2+2x﹣2＝0；（2）x（x﹣3）＝x﹣3．17．若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，求方程的另一个根及m的值．18．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，EF∥BC，FD∥AB．设AE＝3.6，BE＝2.4，CD＝2.8，求BD的长．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，（1）求证：AC＝DE；（2）求△BDE的面积．20．我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有名；补全条形统计图；（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．22．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝．（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEFM是菱形；（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（4）在线段AC上找一点G，使值最小，请直接写出最小值．

东北师范大学深圳坪山实验学校10月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2y＝0 B．2﹣x2＝0 C．2x＝1 D．+x＝2【解答】解：A．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；C．该方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意．故选：B．2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知OA＝3，则BD等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝3，∴BD＝2OA＝6，故选：D．3．若＝，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵＝，∴＝+1＝+1＝．故选：A．4．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0时，方程变形正确的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝7【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，故选：A．5．图中，有三个矩形，其中相似的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．没有相似的矩形【解答】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2.5＝3：5，1：1.5＝2：3，∴甲和丙相似，故选：B．6．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（）A．32个 B．36个 C．40个 D．42个【解答】解：设盒子里有白球x个，根据＝得：＝解得：x＝32．经检验得x＝32是方程的解．答：盒中大约有白球32个．故选：A．7．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．50【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AB＝5，∴AB＝10，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；故选：C．8．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件（）A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AC＝BD D．AC⊥BD【解答】证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，GH＝AC，∴EF＝GH，同理EH＝FG∴四边形EFGH是平行四边形；当对角线AC、BD互相垂直时，如图所示，∴EF与FG垂直．∴四边形EFGH是矩形．故选：D．9．若关于x的方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≤0且m≠1 C．m≤0 D．m＜0【解答】解：当m+1＝0时，即m＝﹣1，方程化为﹣2x+1＝0，解得x＝；当m+1≠0时，Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）≥0，解得m≤0且m≠﹣1，综上所述，m的取值范围为m≤0．故选：C．10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2＝PH•CD；④．其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，∴，∴∠FDP＝90°﹣75°＝15°，∵∠DBC＝45°，∴∠BHC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCH＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠DHF＝∠BHC＝75°，∴∠DHF＝5∠FDP，故①错误；∵∠PBC＝60°，∠DBC＝45°，∴∠PBD＝60°﹣45°＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵AD∥BC，∴∠DFP＝∠PCB＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，故②正确；∵∠PDC＝75°，∠DHP＝75°，∴∠DHP＝∠CDP，又∵∠DPH＝∠CPD，∴△DPH∽△CPD，∴∴PD2＝PH⋅PC，∵PC＝CD，∴PD2＝PH•CD，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，则正方形ABCD的面积为16，∵△BPC为正三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，∵∠PCD＝30°，∴，，∵S△BPD＝S△PBC+S△PDC﹣S△BCD＝＝＝，∴，故④错误；综上，正确的是②③，有2个，故选：B．二．填空题（共5小题）11．一元二次方程x（x﹣7）＝0的解是x1＝0，x2＝7．【解答】解：x＝0或x﹣7＝0，所以x1＝0，x2＝7．故答案为x1＝0，x2＝7．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为4．【解答】解：∵OA＝1，OB＝2，∴AC＝2，BD＝4，∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4．故答案为：4．13．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则点P在第三象限的概率是．【解答】解：从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数分别作为点P的横坐标和纵坐标，共有以下6种情况：则点P在第三象限的概率是：P＝＝．故答案为：．14．已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则等于﹣2．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，∴a+b＝2，ab＝﹣1．∴+＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．15．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值是2．【解答】解：设AD＝2a，AB＝2b，∵将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，∴AE＝BE＝EO＝b，DG＝AG＝GO＝a，∠CEG＝∠AEB＝90°，∠GOE＝∠A＝90°，∴∠CEO+∠GEO＝∠CEO+∠OCE＝90°，∴∠OEG＝∠OCE，∴△EOG∽△COE，∴OE2＝OG•OC，∴b2＝a•2a，∵a＞0，b＞0，∴b＝a，设DF＝OF＝x，则CF＝CD﹣DF＝2a﹣x，在Rt△COF中，由勾股定理得，x2+（2a）2＝（2）2，解得x＝，∴OF＝，∴＝2，故答案为：2．三．解答题（共7小题）16．解方程：（1）x2+2x﹣2＝0（配方法）；（2）x（x﹣3）＝x﹣3．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x+1＝3，即（x+1）2＝3，∴x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x1＝﹣1﹣；（2）x（x﹣3）＝x﹣3，（x﹣3）（x﹣1）＝0，即x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x1＝1．17．若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，求方程的另一个根及m的值．【解答】解：∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，∴（﹣2）2+2×（﹣2）+m＝0，即m＝0，∴一元二次方程x2+2x+m＝0为x2+2x＝0，即x（x+2）＝0，解得x＝0或x＝﹣2，∴方程的另一个根是x＝0，m的值为0．18．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，EF∥BC，FD∥AB．设AE＝3.6，BE＝2.4，CD＝2.8，求BD的长．【解答】解：∵EF∥BC，FD∥AB，∴四边形BEFD为平行四边形，∴DF＝BE＝2.4，∵DF∥AB，∴＝，又∵AE＝3.6，BE＝2.4，CD＝2.8，∴AB＝6，BC＝2.8+BD，∴＝，解得BD＝4.2．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，（1）求证：AC＝DE；（2）求△BDE的面积．【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，AD∥BC，又∵DE∥AC，∴四边形ACED为平行四边形，∴AC＝DE；（2）∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠BOC＝90°，∵AB＝5，AC＝6，∴AO＝3，∴OB＝＝4，∴BD＝2OB＝8，∵DE＝AC＝6，∴．20．我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有100名；补全条形统计图；（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是18°；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．故答案为：100．选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．补全条形统计图如下：（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为×360°＝18°．故答案为：18°．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．21．诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．【解答】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，故答案为：（20+2x），（40﹣x）；（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200，解得：x1＝20，x2＝10，∵要扩大销售量，∴x＝20，答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；（3）不能，理由如下：（20+2x）（40﹣x）＝2000，整理，得：x2﹣30x+600＝0，∵Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝﹣1500＜0，∴此方程无实数根，故不可能做到平均每天盈利2000元．22．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝4．（2）如图2，折叠△A