2023-2024学年湘教版必修第一册 弧度制 课件（36张）

内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.了解弧度制,体会引入弧度制的必要性.(数学抽象)2.能进行弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度数.(数学运算)3.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式,会应用公式解决简单的问题.(数学运算)课前篇自主预习情境导入在日常生活中,一个量可用不同的标准来度量,从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算.例如:长度既可以用米、厘米来度量,也可以用尺、寸来度量;面积可以用平方米来度量,也可以用公顷来度量.常用的温度度量也有两种:一种是摄氏度,它的标准是“在1标准大气压下,纯净的冰水混合物的温度为0摄氏度,水的沸点为100摄氏度,其间平均分为100份,每一等份为1摄氏度,记作1℃”;另一种是华氏温度,它的标准是“把纯水的冰点温度定为32℉,把标准大气压下水的沸点温度定为212℉,中间分为180等份,每一等份代表1华氏度,记作1℉”.类似地,角除了使用角度来度量外,还可以用本节要学习的弧度来度量.知识梳理知识点一:度量角的两种单位制

角度制定义用“度”作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度的角,记作1°弧度制定义以“弧度”为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,1弧度记作1rad微思考在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗?提示

不相等.因为弧长等于1,在大小不同的圆中,由于半径不同,圆心角也不同.知识点二:弧度数的计算与互化1.弧度数的计算(1)正角:正角的弧度数是一个正数.(2)负角:负角的弧度数是一个负数.(3)零角:零角的弧度数是0.(4)在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为αrad,那么|α|=2.角度制与弧度制的换算

3.一些特殊角与弧度数的对应关系

度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0

π

2π微判断(1)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(

)(2)160°化为弧度数是

π

rad.(

)答案

(1)√

(2)√微练习下列换算结果错误的是(

)答案

C解析

-150°化成弧度是-π,故C项错误.知识点三:扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角且α=xrad,则

扇形x为弧度数扇形的弧长l=|x|r扇形的面积S=lr=|x|r2微练习已知扇形的半径r=30,圆心角α=,则该扇形的弧长等于

,面积等于

,周长等于

.答案

5π

75π

60+5π课堂篇探究学习探究一弧度制的概念例1(多选题)下列说法中正确的是(

)A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系

C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关

答案

ABC解析

无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.反思感悟

1.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,数量也不同.2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省去.3.以弧度为单位度量角时,常把弧度数写成nπ(n∈R)的形式.若无特别要求,不必把π写成小数,如45°=

rad,不必写成45°≈0.785

rad.变式训练1下列说法正确的是(

)A.1弧度是长度等于半径的弧B.1弧度是1°的圆心角所对的弧C.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角D.1弧度等于1°答案

C解析

1弧度角的定义:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.由题意可知,只有C正确.探究二角度与弧度的互化与应用例2(1)①将112°30'化为弧度为

.

要点笔记角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键:抓住互化公式π

rad=180°是关键;(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.变式训练2(1)将-157°30'化成弧度为

.

探究三用弧度表示角或范围例3用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.分析先将边界角由角度化为弧度,再根据阴影部分写出角的集合.反思感悟

用弧度制表示角应注意的问题:(1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用.(2)在表示角的集合时,可以先写出一周角范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终边在相变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.探究四弧长公式与扇形面积公式的应用例4(1)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2,求该扇形的面积;(2)已知扇形的周长为10cm,面积等于4cm2,求其圆心角的弧度数.分析(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组求解.解

(1)设扇形的半径为r

cm,弧长为l

cm,由圆心角为2

rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.故扇形的面积

延伸探究本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.解

设扇形的弧长为l

cm,半径为r

cm,则有2r+l=8,于是l=8-2r,反思感悟

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).(2)在研究有关扇形