高考数学-正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理精选ppt1.复习三角形中的边角关系1、角的关系2、边的关系3、边角关系大角对大边（一）任意三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系（角C为直角）1、角的关系2、边的关系3、边角关系？精选ppt2.正弦定理ABCabc在直角三角形ABC中的边角关系有：对于一般的三角形是否也有这个关系？精选ppt所以AD=csinB=bsinC,即同理可得DAcbCB过点A作AD⊥BC于D,此时有(1)若三角形是锐角三角形,如图精选ppt且可得D(2)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角此时也有交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2精选ppt正弦定理在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等.＝＝asinAbsinBcsinC＝?(3)外接圆法精选pptABCC1abcO如图:RCcCc2sinsin1==RAaRBb2sin2sin==，同理：()为外接圆半径即：RRCcBbAa2sinsinsin===精选ppt3.正弦定理的应用一般的，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。精选ppt例1

在中，已知，求b（保留两个有效数字）

解：∵

已知两角和任一边，求其他两边和一角精选ppt变式训练：（1）在△ABC中，已知b=,A=，B=，求a。（2）在△ABC中，已知c=,A=，B=，求b。解：∵∴==解：∵=又∵∴精选ppt例2

在中，已知，求解：由

得

∵在中

∴A为锐角

已知两边与其中一边的对角，求其它边和角.精选ppt例3已知a=16，b=，A=30°

解三角形解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°C=30°当Ｂ＝120°时B16300ABC16316精选ppt变式:

a=30,b=26,A=30°，解三角形300ABC2630解：由正弦定理得所以Ｂ＝25.70,或Ｂ＝1800－25.70=154.30由于154.30+300>1800故B只有一解（如图）C=124.30,精选ppt变式:

a=30,b=26,A=30°，解三角形300ABC2630解：由正弦定理得所以Ｂ＝25.70,C=124.30,∵a>b∴A>B,三角形中大边对大角精选pptbaBACaB例题4:三角形ABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=400,解三角形。精选ppt

变式：在例4中，将已知条件改为以下几种情况，角B的结果有几种？（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3（3）b＝20，A＝60°，a＝15.60°ABCb精选ppt已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．Ａ为锐角a<bsinA无解a=bsinA一解bsinA<a<b两解一解a≥bＡ为直角或钝角a>b一解a≤b无解ＡＢＣbaＡＣbaＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣab精选ppt（1）在△ABC中,B=1350,a=2,b=,求A大边对大角，故本题无解。（2）在△ABC中,A=450,a=2,b=,求B（3）在△ABC中,b=,a=2,B=450,求A（4）在△ABC中,b=,a=,B=450,求A或120o练习精选ppt1.已知两角及一边解三角形一定只有一解。2.已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、一解或两解。归纳：精选pptA的范围a,b关系解的情况（按角A分类）已知两边a、b和一边对角A的斜三角形的解：A为钝角或直角A为锐角a＞ba≤ba≥ba＜bsinAa=bsinAbsinA＜a＜b一解无解一解无解一解两解精选ppt(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：①已知两角和一边，求其他角和边②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角知识小节：精选ppt(3)正弦定理的变形：(2)三角形面积公式：精选ppt如果已知一个三角形的两条边及其夹角，根据三角形全等的定理，该三角形大小形状完全确定，那么如何解出这个三角形呢？思考：精选pptCBAcab思考：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.﹚设由向量减法的三角形法则得2.余弦定理（1）向量法精选pptCBAcab﹚﹚由向量减法的三角形法则得思考：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.设精选pptCBAcab﹚余弦定理由向量减法的三角形法则得思考：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.设精选ppt余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。CBAbac精选pptbAacCB证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：xy（2）解析法精选pptABCabcD当角C为锐角时（3）几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。精选ppt证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：D精选ppt推论：精选ppt（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；3.余弦定理的应用精选ppt1.已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,求c及S△ABC整理得：c2-8c+15=0解得：c1=3,c2=5精选ppt精选ppt精选ppt（2）已知三边，求三个角。精选ppt例题1在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形解：由余弦定理得精选ppt精选ppt（3）判断三角形的形状例３、在△ABC中，，那么Ａ是（）Ａ.钝角Ｂ.直角Ｃ.锐角Ｄ.不能确定Ａ精选ppt提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形△ABC是锐角三角形△ABC是直角三角形精选ppt7.在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定△ABC的形状分析：△ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。变式：若已知三边的比是7:10:6，怎么求解

练习：精选ppt8.一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（）分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。BA.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，6精选ppt9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC=